Problemi e domande di algebra con soluzioni - 12º anno

Riscriviamo le espressioni date con la stessa potenza in modo da poter facilmente confrontare le loro basi. Per fare ciò, usiamo la regola della potenza di una potenza: \( (x^a)^b = x^{a \cdot b} \).

Riscriviamo tutte le espressioni in modo che abbiano un esponente esterno pari a 100:

\[ 25^{100} \text{ (Ha già un esponente pari a 100)} \]

\[ 2^{300} = (2^3)^{100} = 8^{100} \]

\[ 3^{400} = (3^4)^{100} = 81^{100} \]

\[ 4^{200} = (4^2)^{100} = 16^{100} \]

\[ 2^{600} = (2^6)^{100} = 64^{100} \]

Ora che gli esponenti sono identici, li ordiniamo dal maggiore al minore semplicemente confrontando i numeri delle basi (81, 64, 25, 16, 8):

\[ \mathbf{3^{400} , \quad 2^{600}, \quad 25^{100} , \quad 4^{200} , \quad 2^{300}} \]

Secondo il Teorema delle radici razionali, i possibili zeri razionali di un polinomio \( P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \) sono dati da:

\[ \dfrac{\text{fattori del termine noto } a_0}{\text{fattori del coefficiente principale } a_n} \]

Identifichiamo il coefficiente principale e il termine noto dal polinomio dato:

Il coefficiente principale è \( 1 \) e i suoi fattori sono: \( \pm 1 \)

Il termine noto è \( 6 \) e i suoi fattori sono: \( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \)

Pertanto, dividendo i fattori del termine noto per i fattori del coefficiente principale si ottengono i possibili zeri razionali:

\[ \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 \]

Verifichiamo gli zeri razionali usando la sostituzione diretta e calcolando quali di essi danno zero:

\[ P(1) = (1)^3 - 7(1) + 6 = 1 - 7 + 6 = 0 \]

\[ P(2) = (2)^3 - 7(2) + 6 = 8 - 14 + 6 = 0 \]

\[ P(-3) = (-3)^3 - 7(-3) + 6 = -27 + 21 + 6 = 0 \]

Poiché questi valori soddisfano \( P(x) = 0 \), essi sono gli zeri di \( P(x) \). Il polinomio \( P(x) \) ha i seguenti zeri razionali:

\[ \mathbf{x = 1, \quad x = 2, \quad x = -3} \]

Pertanto, il polinomio può essere completamente fattorizzato usando queste radici nella forma \( (x - \text{radice}) \):

\[ \mathbf{P(x) = (x-1)(x-2)(x+3)} \]

Analizziamo le intercette x (zeri) sul grafico per determinare i fattori e le loro molteplicità. Se il grafico tocca l'asse e inverte la direzione, ha una molteplicità pari. Se lo attraversa direttamente, ha una molteplicità dispari.

• Dal grafico, in \( x = -3 \), la curva tocca l'asse x e inverte la direzione. Questo significa che \( x = -3 \) è uno zero di molteplicità 2. Questo ci dà il fattore \( (x + 3)^2 \).
• In \( x = 0 \), la curva attraversa direttamente l'asse. Questo significa che \( x = 0 \) è uno zero di molteplicità 1. Questo ci dà il fattore \( x \).
• In \( x = 2 \), la curva tocca l'asse x e inverte nuovamente la direzione. Questo significa che \( x = 2 \) è uno zero di molteplicità 2. Questo ci dà il fattore \( (x - 2)^2 \).

Sommando le molteplicità (\( 2 + 1 + 2 \)), il polinomio ha un grado minimo possibile pari a 5.

Successivamente, determiniamo il segno del coefficiente principale osservando il comportamento all'infinito. Il grafico scende a destra e sale a sinistra. Un polinomio di grado dispari con questo comportamento all'infinito deve avere un coefficiente principale negativo.

Ci viene detto che il valore assoluto del coefficiente principale è 1, quindi il coefficiente principale deve essere esattamente \( -1 \).

Combinando il coefficiente principale e i fattori, \( P(x) \) è dato da:

\[ \mathbf{P(x) = - x (x + 3)^2 (x - 2)^2} \]

Secondo il Teorema delle radici complesse coniugate, poiché i coefficienti del polinomio \( P(x) \) sono numeri reali, eventuali radici complesse devono presentarsi in coppie coniugate. Pertanto, se \( 2 - i \) è uno zero, allora anche \( 2 + i \) è uno zero di \( P(x) \).

Successivamente, troviamo il fattore quadratico corrispondente a queste due radici complesse moltiplicandole tra loro:

\[ (x - (2 - i))(x - (2 + i)) \]

Sviluppare questa espressione è più semplice se la raggruppiamo per formare una differenza di quadrati:

\[ = (x - 2 + i)(x - 2 - i) \]

\[ = (x - 2)^2 - i^2 \]

Ricorda che l'unità immaginaria al quadrato è \( -1 \) (cioè \( i^2 = -1 \)). Sostituisci questo nell'equazione:

\[ = (x - 2)^2 - (-1) = (x - 2)^2 + 1 \]

Ora sviluppa il quadrato del binomio:

\[ = x^2 - 4x + 4 + 1 = x^2 - 4x + 5 \]

Poiché \( P(x) \) è divisibile per questo fattore quadratico \( x^2 - 4x + 5 \), eseguiamo la divisione lunga polinomiale per trovare i fattori rimanenti:

\[ (x^4 - 4x^3 + 3x^2 + 8x - 10) \div (x^2 - 4x + 5) \]

Dividendo, otteniamo un resto pari a 0 e il quoziente \( x^2 - 2 \). Questo quoziente può essere ulteriormente fattorizzato come una differenza di quadrati:

\[ x^2 - 2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2}) \]

Impostando questi fattori a zero otteniamo le radici rimanenti. Pertanto, l'insieme completo degli zeri di \( P(x) \) è:

\[ \mathbf{2 - i, \quad 2 + i, \quad -\sqrt{2}, \quad \sqrt{2}} \]

Usiamo la forma canonica (o del vertice) di una funzione quadratica, che rende semplice inserire direttamente le coordinate del vertice:

\[ f(x) = a(x - h)^2 + k \]

Sostituisci il vertice dato \( (h, k) = (-2,1) \) nell'equazione:

\[ f(x) = a (x + 2)^2 + 1 \]

Ora, usa il punto dato \( (0, -3) \) per trovare il moltiplicatore sconosciuto \( a \). Sostituisci \( x = 0 \) e \( f(0) = -3 \):

\[ -3 = a(0 + 2)^2 + 1 \]

Semplifica il termine al quadrato:

\[ -3 = 4a + 1 \]

Sottrai 1 da entrambi i lati e risolvi rispetto ad \( a \):

\[ 4a = -4 \implies a = -1 \]

Sostituendo \( a = -1 \) nuovamente nella forma del vertice otteniamo la nostra equazione completa:

\[ f(x) = -(x + 2)^2 + 1 \]

Per trovare i valori di \( a \), \( b \) e \( c \), dobbiamo sviluppare questa equazione nella forma standard \( ax^2 + bx + c \):

\[ f(x) = -(x^2 + 4x + 4) + 1 \]

Distribuisci il segno meno:

\[ f(x) = -x^2 - 4x - 4 + 1 \]

Combina i termini noti:

\[ f(x) = -x^2 - 4x - 3 \]

Confrontando questo risultato con la forma quadratica standard \( f(x) = ax^2 + bx + c \), troviamo:

\[ \mathbf{a = -1, \quad b = -4, \quad c = -3} \]

Metodo 1: Sostituzione algebrica

La forma standard di una funzione quadratica è:

\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]

Dato \( f(1) = 3 \), sostituiamo \( x = 1 \) per creare la nostra prima equazione:

\[ 3 = a(1)^2 + b(1) + c \implies 3 = a + b + c \quad \text{(Equazione B)} \]

Dato \( f(5) = 3 \), sostituiamo \( x = 5 \) per creare la nostra seconda equazione:

\[ 3 = a(5)^2 + b(5) + c \implies 3 = 25a + 5b + c \quad \text{(Equazione C)} \]

Sottraendo l'Equazione B dall'Equazione C ci permette di eliminare la variabile \( c \):

\[ (25a + 5b + c) - (a + b + c) = 3 - 3 \]

\[ 24a + 4b = 0 \]

Dividi per 4 per semplificare: \( 6a + b = 0 \), il che implica \( b = -6a \).

La coordinata x del vertice per qualsiasi funzione quadratica è data dalla formula \( \dfrac{-b}{2a} \). Sostituendo \( -6a \) al posto di \( b \):

\[ \dfrac{-(-6a)}{2a} = \dfrac{6a}{2a} = \mathbf{3} \]

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Nota che questo problema potrebbe essere risolto molto più velocemente usando la geometria come segue:

Poiché \( f(x) \) è una funzione quadratica tale che \( f(1) = 3 \) e \( f(5) = 3 \), i due punti \( (1, 3) \) e \( (5, 3) \) si trovano sulla parabola. Poiché hanno esattamente la stessa coordinata y (3), essi rappresentano punti simmetrici rispetto all'asse verticale sul grafico.

Poiché la funzione è quadratica, la coordinata x del vertice si trova esattamente a metà tra due punti simmetrici qualsiasi. Pertanto, essa è uguale alla coordinata x del punto medio di questi due punti.

Calcola la coordinata x del punto medio:

\[ x_{\text{vertice}} = \dfrac{1 + 5}{2} = \dfrac{6}{2} = \mathbf{3} \]

La coordinata \( x \) del vertice del grafico di \( f(x) \) è 3.

L'asintoto obliquo di una funzione razionale è il quoziente risultante dalla divisione lunga polinomiale del numeratore per il denominatore.

Eseguiamo la divisione lunga di \( a x^4 + b x^3 + 3 \) per \( x^3 - 2 \):

1. Dividi il termine di grado massimo \( ax^4 \) per \( x^3 \), il che dà \( ax \). Questo è il primo termine del quoziente.

2. Moltiplica \( ax \) per l'intero denominatore \( (x^3 - 2) \), il che produce \( ax^4 - 2ax \).

3. Sottrai questo risultato dal numeratore: \( (ax^4 + bx^3 + 3) - (ax^4 - 2ax) = bx^3 + 2ax + 3 \).

4. Ora, dividi il nuovo termine di grado massimo \( bx^3 \) per \( x^3 \), il che dà \( b \). Questo è il secondo termine del quoziente.

Usando la divisione lunga, otteniamo l'espressione completa:

\[ \dfrac{ax^4 + bx^3 + 3}{x^3 - 2} = ax + b + \dfrac{2ax + (3 + 2b)}{x^3 - 2} \]

Il quoziente \( ax + b \) è l'asintoto obliquo. Ci viene dato che l'asintoto obliquo deve essere uguale alla retta \( 2x - 3 \).

Pertanto, li poniamo uguali tra loro:

\[ ax + b = 2x - 3 \]

Poiché due polinomi sono uguali se e solo se i loro coefficienti corrispondenti sono uguali, confrontiamo i termini e otteniamo:

\[ \mathbf{a = 2, \quad b = -3} \]

Data l'equazione:

\[ \log_9 (x^3) = \log_2(8) \]

Innanzitutto, semplifica il lato destro dell'equazione data. Poiché 8 può essere scritto come \( 2^3 \), il logaritmo si semplifica facilmente:

\[ \log_2(8) = \log_2 (2^3) = 3 \]

Riscrivi l'equazione originale sostituendo questo nuovo valore:

\[ \log_9 (x^3) = 3 \]

Per risolvere rispetto a \( x \), possiamo riscrivere il numero 3 usando un logaritmo con base 9 in modo che entrambi i lati corrispondano, usando la regola \( c = \log_b(b^c) \):

\[ \log_9 (x^3) = \log_9(9^3) \]

Poiché le basi logaritmiche su entrambi i lati sono identiche, possiamo eliminare i logaritmi e scrivere l'equazione algebrica per gli argomenti:

\[ x^3 = 9^3 \]

Estrai la radice cubica di entrambi i lati per risolvere rispetto a \( x \):

\[ \mathbf{x = 9} \]

Data l'equazione logaritmica iniziale:

\[ \log_x(y^3) = 2 \]

Per stabilire una relazione algebrica tra \( x \) e \( y \), riscrivi l'equazione dalla forma logaritmica alla forma esponenziale (\( \text{base}^{\text{risultato}} = \text{argomento} \)):

\[ x^2 = y^3 \]

L'espressione obiettivo che vogliamo valutare è \( \log_y(x^4) \), che contiene un \( x^4 \). Dobbiamo manipolare la nostra equazione esponenziale per creare un \( x^4 \). Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione:

\[ (x^2)^2 = (y^3)^2 \]

Semplifica usando la regola della potenza di una potenza:

\[ x^4 = y^6 \]

Ora, sostituisci questo valore di \( x^4 \) nell'espressione obiettivo che vogliamo valutare. Prendi il logaritmo in base \( y \) di entrambi i lati e semplifica:

\[ \log_y(x^4) = \log_y(y^6) \]

Usando la proprietà dei logaritmi \( \log_b(b^k) = k \), l'espressione si valuta in:

\[ \mathbf{6} \]

Data l'equazione logaritmica:

\[ \log_x (8e^3) = 3 \]

Per risolvere rispetto alla base \( x \), riscrivi l'equazione dalla forma logaritmica alla forma esponenziale (\( \text{base}^{\text{risultato}} = \text{argomento} \)):

\[ x^3 = 8e^3 \]

Per isolare \( x \), invertiamo la potenza cubica estraendo la radice cubica su entrambi i lati dell'equazione:

\[ x = \sqrt[3]{8e^3} \]

Possiamo semplificare l'espressione all'interno del radicale. Poiché \( 8 \) è un cubo perfetto (\( 8 = 2^3 \)), lo sostituiamo e raggruppiamo i termini:

\[ x = \sqrt[3]{2^3 e^3} = \sqrt[3]{(2 e)^3} \]

La radice cubica e la potenza cubica si elidono a vicenda, lasciando la risposta finale:

\[ \mathbf{x = 2e} \]

Data l'equazione esponenziale:

\[ 16^x + 16^{x - 1} = 10 \]

Innanzitutto, usa le regole degli esponenti per separare e riscrivere i termini in modo che condividano una base comune pari a 4. Sappiamo che \( 16 = 4^2 \):

\[ 16^x = (4^2)^x = 4^{2 x} \]

Per il secondo termine, usa la regola \( a^{m-n} = \dfrac{a^m}{a^n} \) e la sostituzione precedente:

\[ 16^{x - 1} = 16^x \cdot 16^{-1} = \dfrac{4^{2x}}{16} \]

Sostituisci questi termini semplificati nell'equazione data:

\[ 4^{2x} + \dfrac{4^{2x}}{16} = 10 \]

Raccogli a fattor comune il termine \( 4^{2x} \) per isolarlo. \( 4^{2x}(1 + \dfrac{1}{16}) = 10 \), che diventa \( 4^{2x}(\dfrac{17}{16}) = 10 \). Moltiplica entrambi i lati per \( \dfrac{16}{17} \) per risolvere rispetto a \( 4^{2x} \):

\[ 4^{2x} = \dfrac{160}{17} \]

Per ridurre la base da 4 a 2, estrai la radice quadrata positiva di entrambi i lati dell'equazione precedente (le funzioni esponenziali sono sempre positive):

\[ \sqrt {4^{2x}} = \sqrt {(4^x)^2} = 4^x = \dfrac{\sqrt{160}}{\sqrt{17}} = \dfrac{4\sqrt{10}}{\sqrt{17}} \]

Pertanto, poiché \( 4^x \) è matematicamente identico a \( 2^{2x} \) (poiché \( 4^x = (2^2)^x = 2^{2x} \)), abbiamo la nostra risposta:

\[ \mathbf{2^{2x} = \dfrac{4\sqrt{10}}{\sqrt{17}}} \]

Nota: Questo problema poteva anche essere risolto partendo convertendo direttamente in base 2.

Sostituisci \( 16^x = (2^4)^x = 2^{4 x} \) direttamente nell'equazione e segui passaggi di fattorizzazione simili a quelli della soluzione fornita sopra.

Data la prima equazione:

\[ a^2 - b^2 = 8 \]

Poiché vogliamo trovare la somma di termini elevati alla quarta potenza, dobbiamo elevare al quadrato entrambi i lati dell'equazione data per generare quelle potenze superiori:

\[ (a^2 - b^2)^2 = 8^2 \]

Sviluppa il lato sinistro usando la regola del quadrato di un binomio \( (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \):

\[ a^4 - 2a^2b^2 + b^4 = 64 \]

Riordinando i termini, otteniamo un'espressione contenente il nostro obiettivo desiderato \( a^4 + b^4 \):

\[ a^4 + b^4 - 2a^2b^2 = 64 \quad \text{(I)} \]

Ora usiamo la seconda informazione fornita:

\[ ab = 2 \]

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione precedente in modo che corrisponda al termine centrale della nostra espressione sviluppata:

\[ (ab)^2 = a^2b^2 = 2^2 = 4 \]

Sostituisci questo valore di \( 4 \) al posto di \( a^2b^2 \) nell'equazione (I):

\[ a^4 + b^4 - 2(4) = 64 \]

Moltiplica per semplificare:

\[ a^4 + b^4 - 8 = 64 \]

Aggiungi 8 a entrambi i lati per trovare il valore finale. Pertanto:

\[ \mathbf{a^4 + b^4 = 72} \]

Per trovare i valori minimo e massimo di una funzione trigonometrica complessa, la costruiamo dall'interno verso l'esterno. Sappiamo che l'intervallo fondamentale di una funzione seno di base è sempre compreso tra -1 e 1, indipendentemente dai suoi argomenti interni:

\[ -1 \leq \sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) \leq 1 \]

Moltiplica tutti i termini della disuguaglianza doppia per il coefficiente di ampiezza 2:

\[ -2 \leq 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) \leq 2 \]

Aggiungi la traslazione verticale di -5 a tutti i termini della disuguaglianza:

\[ -2 - 5 \leq 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \leq 2 - 5 \]

Semplifica gli estremi:

\[ -7 \leq 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \leq -3 \]

Ora, modifica la disuguaglianza precedente applicando l'operazione di valore assoluto. Poiché l'intera espressione all'interno delle barre di valore assoluto rientra rigorosamente nei numeri negativi (da -7 a -3), l'applicazione del valore assoluto inverte i segni rendendoli positivi e inverte l'ordine numerico degli estremi:

\[ |-3| \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| \leq |-7| \]

\[ 3 \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| \leq 7 \]

Infine, aggiungi la costante esterna 3 a tutti i termini della disuguaglianza doppia per completare la funzione \( f(x) \):

\[ 3 + 3 \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| + 3 \leq 7 + 3 \]

Semplifica gli estremi per rivelare l'intervallo finale:

\[ 6 \leq \left| 2\sin\left( 2x - \dfrac{\pi}{3} \right) - 5 \right| + 3 \leq 10 \]

Pertanto, il valore massimo di \( f(x) \) è uguale a 10 e il valore minimo di \( f(x) \) è uguale a 6.

Quando semplifichiamo valori assoluti nidificati, procediamo dall'interno verso l'esterno. Usiamo la condizione del dominio data per determinare il segno dell'espressione all'interno delle barre. Se l'espressione è negativa, la moltiplichiamo per -1 per valutare il valore assoluto.

Ci viene data la condizione: Se \( x \lt -7 \), allora aggiungendo 4 a entrambi i lati sappiamo che:

\[ x \lt -3 \]

Aggiungi 3 alla disuguaglianza precedente e semplifica per determinare il segno dell'espressione interna \( (3 + x) \):

\[ x + 3 \lt 0 \]

Poiché \( (3+x) \) è decisamente minore di zero, secondo la definizione di valore assoluto, dobbiamo moltiplicarlo per -1 per rimuovere le barre:

\[ |3 + x| = -(3 + x) \]

Sostituisci questo valore. L'espressione data si semplifica in:

\[ |4 - |3 + x|| = |4 - (- (3 + x))| = |4 + 3 + x| = |x + 7| \]

Ora valutiamo il valore assoluto esterno \( |x + 7| \). Torniamo alla nostra condizione originale \( x \lt -7 \). Aggiungendo 7 a entrambi i lati si evidenzia che:

\[ x + 7 \lt 0 \]

Poiché la nuova espressione è anch'essa decisamente negativa, moltiplichiamo nuovamente per -1 per valutare il valore assoluto:

\[ |x + 7| = - (x + 7) = - x - 7 \]

E quindi l'espressione completamente semplificata è:

\[ \mathbf{|4 - |3 + x|| = -x - 7} \]

La velocità media non si calcola facendo semplicemente la media di due velocità; deve essere calcolata usando la formula: Distanza Totale divisa per il Tempo Totale. Dobbiamo impostare espressioni per la distanza e per il tempo.

Sia \( d \) la distanza tra \( A \) e \( B \). Il tempo impiegato per percorrere la prima tratta (da A a B) si calcola dividendo la distanza per la velocità:

\[ t_1 = \dfrac{d}{50} \]

dove 50 km/h è la velocità media da \( A \) a \( B \).

Sia \( v \) la velocità media sconosciuta per il viaggio di ritorno (da \( B \) a \( A \)). Il tempo impiegato per il viaggio di ritorno è:

\[ t_2 = \dfrac{d}{v} \]

Il tempo totale per l'intero viaggio di andata e ritorno è la somma dei due tempi:

\[ t_{\text{totale}} = t_1 + t_2 = \dfrac{d}{50} + \dfrac{d}{v} \]

La distanza totale percorsa (andata e ritorno) è semplicemente il doppio della distanza:

\[ d + d = 2d \]

La velocità media per l'intero viaggio è data dalla distanza totale fratto il tempo totale. Poniamo questa formula uguale alla nostra velocità media obiettivo di 60 km/h:

\[ \text{Velocità media} = \dfrac{\text{Distanza totale}}{\text{Tempo totale}} = \dfrac{2d}{t_{\text{totale}}} \]

Sostituisci le espressioni che abbiamo costruito nella formula:

\[ \dfrac{2d}{\dfrac{d}{50} + \dfrac{d}{v}} = 60 \]

Nota che la distanza \( d \) è presente in ogni termine. Semplifica dividendo per \( d \) sia il numeratore che il denominatore:

\[ \dfrac{2}{\dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{v}} = 60 \]

Per eliminare la frazione, moltiplica entrambi i lati per l'espressione al denominatore \( \left( \dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{v} \right) \):

\[ 2 = 60 \left( \dfrac{1}{50} + \dfrac{1}{v} \right) \]

Distribuisci il 60 per semplificare i termini all'interno delle parentesi:

\[ 2 = \dfrac{60}{50} + \dfrac{60}{v} \]

\[ 2 = 1.2 + \dfrac{60}{v} \]

Sottrai 1.2 da entrambi i lati per isolare il termine con la variabile:

\[ 0.8 = \dfrac{60}{v} \]

Risolvi rispetto a \( v \) moltiplicando per \( v \) e dividendo per 0.8:

\[ v = \dfrac{60}{0.8} = 75 \]

Pertanto, la velocità media per il viaggio di ritorno da \( B \) a \( A \) deve essere pari a 75 km/h per poter avere una velocità media di 60 km/h per l'intero viaggio.

Data l'equazione non lineare, possiamo usare l'identità algebrica della differenza di quadrati per fattorizzarla in binomi più semplici:

\[ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) = -12 \]

Ci viene data una seconda equazione: \( x + y = 6 \). Sostituisci l'espressione \( (x + y) \) nella nostra equazione fattorizzata con il numero 6:

\[ (x - y)(6) = -12 \]

Dividi entrambi i lati per 6 per risolvere rispetto a \( x - y \):

\[ (x - y) = -2 \]

Ora abbiamo un semplice sistema di equazioni lineari da risolvere per eliminazione o sostituzione:

\[ \begin{cases} x - y = -2 \\ x + y = 6 \end{cases} \]

Somma verticalmente le due equazioni per eliminare la variabile \( y \): \( (x+x) + (y-y) = -2 + 6 \), che dà \( 2x = 4 \), ovvero \( x = 2 \).

Sostituisci \( x = 2 \) nella seconda equazione: \( 2 + y = 6 \), il che dà \( y = 4 \).

Risolvere il sistema sopra fornisce la risposta finale:

\[ \mathbf{x = 2, \quad y = 4} \]

Data l'equazione funzionale:

\[ f(x) + 3f(8 - x) = x \]

Per valutare un valore specifico come \( f(2) \), dobbiamo sostituire valori strategici per \( x \) per costruire un sistema di equazioni risolvibile. Innanzitutto, sostituisci \( x = 2 \) nell'equazione data:

\[ f(2) + 3 f(8-2) = 2 \]

\[ f(2) + 3 f(6) = 2 \tag{A} \]

Questo crea un'equazione con una nuova incognita, \( f(6) \). Per trovare un modo per eliminarla, sostituisci \( x = 6 \) nell'equazione originariamente data:

\[ f(6) + 3 f(8-6) = 6 \]

\[ f(6) + 3 f(2) = 6 \tag{B} \]

Ora abbiamo un sistema di due equazioni. Possiamo risolvere l'equazione (B) per isolare \( f(6) \):

\[ f(6) = 6 - 3f(2) \tag{C} \]

Sostituisci questa espressione per \( f(6) \) nell'equazione (A):

\[ f(2) + 3(6 - 3f(2)) = 2 \]

Sviluppa l'espressione distribuendo il 3 e raggruppa i termini simili:

\[ f(2) + 18 - 9f(2) = 2 \]

\[ - 8 f(2) + 18 = 2 \]

Sottrai 18 da entrambi i lati e risolvi rispetto a \( f(2) \):

\[ -8 f(2) = -16 \]

\[ \mathbf{f(2) = 2} \]

Data l'equazione funzionale ricorsiva:

\[ f(2x + 1) = 2 f(x) + 1 \tag{A} \]

Dobbiamo usare il valore noto \( f(0) = 2 \) come trampolino di lancio per trovare \( f(3) \). Dobbiamo determinare quali valori di \( x \) produrranno le valutazioni di funzione di cui abbiamo bisogno.

Per trovare il passo successivo nella catena a partire da \( x=0 \), poniamo \( x = 0 \) nell'equazione \( A \):

\[ f(2(0) + 1) = 2 f(0) + 1 \]

Sostituisci il valore noto \( f(0) = 2 \) nell'equazione:

\[ f(1) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5 \]

Ora sappiamo che \( f(1) = 5 \). Vogliamo trovare \( f(3) \). Abbiamo bisogno che l'argomento interno del lato sinistro, \( (2x+1) \), sia uguale a 3. Questo si verifica quando \( x = 1 \). Poniamo \( x = 1 \) nell'equazione \( A \):

\[ f(2(1) + 1) = 2 f(1) + 1 \]

\[ f(3) = 2 f(1) + 1 \tag{B} \]

Sostituisci il nostro valore appena calcolato \( f(1) = 5 \) nell'equazione \( B \) per ottenere la risposta finale:

\[ f(3) = 2(5) + 1 \]

\[ \mathbf{f(3) = 11} \]

Troviamo i punti di intersezione tra la circonferenza e la retta risolvendo il sistema delle due equazioni date. Una retta tangente a una circonferenza la interseca in un unico punto, il che significa che il sistema risultante dovrebbe avere esattamente una soluzione.

Sostituisci l'espressione per \( y \), che è \( 2 x + b \), nell'equazione della circonferenza:

\[ x^2 + (2 x + b)^2 = 4 \]

Sviluppa il binomio al quadrato e semplifica l'equazione combinando i termini simili:

\[ x^2 + 4x^2 + 4bx + b^2 = 4 \]

\[ 5 x^2 + 4 b x + (b^2 - 4) = 0 \]

Il numero di punti di intersezione è dato dal numero di soluzioni della suddetta equazione quadratica. La retta e la circonferenza sono tangenti se la suddetta equazione quadratica ha una sola soluzione. Un'equazione quadratica ha esattamente una soluzione quando il suo discriminante (\( \Delta = B^2 - 4AC \)) è uguale a zero.

Trova il discriminante \( \Delta \) in funzione di \( b \), usando \( A=5 \), \( B=4b \) e \( C=(b^2 - 4) \):

\[ \Delta = ( 4 b )^2 - 4 (5)(b^2 - 4) \]

Poni il discriminante uguale a zero e risolvi rispetto a \( b \):

\[ ( 4 b )^2 - 4 (5)(b^2 - 4) = 0 \]

\[ 16b^2 - 20b^2 + 80 = 0 \]

\[ -4b^2 + 80 = 0 \]

\[ -4b^2 = -80 \implies b^2 = 20 \]

Estrai la radice quadrata di entrambi i lati. Risolvi rispetto a \( b \) per ottenere due soluzioni:

\[ b = \pm \sqrt{20} = \pm \sqrt{4 \cdot 5} \]

\[ \mathbf{b = \pm 2 \sqrt{5}} \]

Sia il polinomio al numeratore \( P(x) = x^{100} - x^{99} - x + 1 \) e il polinomio divisore \( D(x) = x^2 - 3x + 2 \).

La divisione dei due polinomi può essere scritta algebricamente come:

\[ P(x) = D(x) Q(x) + r(x) \]

dove \( Q(x) \) è il quoziente e \( r(x) \) è il resto. Per definizione di divisione polinomiale, il resto avrà un grado pari o inferiore a uno poiché il divisore \( D(x) \) ha grado 2. Pertanto, possiamo esprimere il resto come un'equazione lineare \( r(x) = ax + b \).

Ora dobbiamo trovare i valori di \( a \) e \( b \) che definiscono il resto.

Nota che \( D(x) \) può essere fattorizzato in binomi come segue:

\[ D(x) = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \]

Di conseguenza, sostituiamo il divisore fattorizzato e il resto lineare nella nostra equazione di divisione:

\[ P(x) = (x - 1)(x - 2) Q(x) + ax + b \]

Usando gli zeri di \( D(x) \) (che sono 1 e 2), possiamo valutare \( P(x) \). Poiché la sostituzione di uno zero del divisore annulla l'intero termine del quoziente (moltiplicandolo per zero), ciò isola i termini del nostro resto. Innanzitutto, scriviamo l'equazione per \( x=1 \):

\[ P(1) = (1 - 1)(1 - 2) Q(1) + a(1) + b \]

Questo si semplifica in:

\[ a + b = P(1) \]

Analogamente, scriviamo l'equazione per \( x=2 \):

\[ P(2) = (2 - 1)(2 - 2) Q(2) + a(2) + b \]

Questo si semplifica in:

\[ 2a + b = P(2) \]

Ora dobbiamo calcolare \( P(1) \) e \( P(2) \) usando l'equazione polinomiale originale.

Sostituisci \( x=1 \) in \( P(x) \):

\[ P(1) = 1^{100} - 1^{99} - 1 + 1 = 1 - 1 - 1 + 1 = 0 \]

Successivamente, riscriviamo \( P(x) \) fattorizzandolo leggermente per facilitare la valutazione di numeri più grandi:

\[ P(x) = x^{99}(x - 1) - (x - 1) \]

Quindi, calcoliamo \( P(2) \) sostituendo \( x=2 \):

\[ P(2) = 2^{99}(2 - 1) - (2 - 1) = 2^{99}(1) - 1 = 2^{99} - 1 \]

Ora abbiamo un sistema di equazioni lineari da risolvere per \( a \) e \( b \):

\[ \begin{cases} a + b = 0 \\ 2a + b = 2^{99} - 1 \end{cases} \]

Dalla prima equazione sappiamo che \( b = -a \). Sostituisci questo nella seconda equazione: \( 2a - a = 2^{99} - 1 \implies a = 2^{99} - 1 \).

Risolvendo il sistema, otteniamo:

\[ a = 2^{99} - 1 \quad \text{e} \quad b = -(2^{99} - 1) = 1 - 2^{99} \]

Pertanto, sostituendo \( a \) e \( b \) nuovamente in \( r(x) = ax+b \), il resto è:

\[ \mathbf{r(x) = (2^{99} - 1)x + 1 - 2^{99}} \]

Possiamo risolvere questo radicale nidificato ponendo l'intera espressione infinita uguale a una variabile.

Sia \( y = \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \cdots}}} \).

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione per eliminare la radice quadrata più esterna:

\[ y^2 = \dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \cdots}}} \]

Poiché la serie di radici quadrate è infinita, l'espressione sotto il primo radicale è identica alla nostra definizione originale della variabile \( y \). Pertanto, possiamo sostituire \( y \) nel lato destro dell'equazione. Possiamo scrivere:

\[ y^2 = \dfrac{1}{3} + y \]

Questa è un'equazione quadratica standard. Riordinala per porla uguale a zero in modo da poterla risolvere. Moltiplica per 3 per rimuovere le frazioni, ottenendo \( 3y^2 = 1 + 3y \), che diventa:

\[ 3y^2 - 3y - 1 = 0 \]

Usa la formula quadratica (\( y = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)) per risolvere la suddetta equazione quadratica e ottenere:

\[ y = \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(3)(-1)}}{2(3)} = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 12}}{6} \]

\[ y = \dfrac{3 + \sqrt{21}}{6} \quad \text{oppure} \quad y = \dfrac{3 - \sqrt{21}}{6} \]

Poiché l'espressione originale è una radice quadrata principale, \( y \) deve valutarsi in un numero positivo. La seconda opzione produce un risultato negativo poiché \( \sqrt{21} > 3 \). Poiché \( y \) è positivo, la soluzione è la radice positiva:

\[ \mathbf{\sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \sqrt{\dfrac{1}{3} + \cdots}}} = y = \dfrac{3 + \sqrt{21}}{6}} \]

Possiamo determinare la risolvibilità di un sistema estraendo le sue matrici e valutandone i determinanti. La matrice dei coefficienti \(A\), composta dai moltiplicatori delle variabili, è:

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -5 & 3 & 2 \\ 3 & -4 & 1 \end{bmatrix} \]

La matrice delle costanti \(b\), composta dai valori sul lato destro del segno di uguale, è:

\[ b = \begin{bmatrix} 5 \\ 7 \\ 8 \end{bmatrix} \]

La Regola di Cramer fornisce la soluzione per ciascuna variabile in termini dei determinanti di matrici derivate dalla matrice dei coefficienti \(A\) e modificate sostituendo le colonne con le costanti del lato destro. Se il determinante di \(A\) è zero, ma un determinante modificato non lo è, il sistema non ha soluzioni.

Per trovare \(x\), sostituisci la prima colonna di \(A\) con il vettore delle costanti \(b\):

\[ A_x = \begin{bmatrix} 5 & 1 & -3 \\ 7 & 3 & 2 \\ 8 & -4 & 1 \end{bmatrix} \]

Quindi, la soluzione per \(x\) è data dalla frazione: \( x = \dfrac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)} \)

Per trovare \(y\), sostituisci la seconda colonna di \(A\) con il vettore delle costanti \(b\):

\[ A_y = \begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 \\ -5 & 7 & 2 \\ 3 & 8 & 1 \end{bmatrix} \implies y = \dfrac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)} \]

Per trovare \(z\), sostituisci la terza colonna di \(A\) con il vettore delle costanti \(b\):

\[ A_z = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 5 \\ -5 & 3 & 7 \\ 3 & -4 & 8 \end{bmatrix} \implies z = \dfrac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)} \]

Ora dobbiamo calcolare i determinanti delle matrici \(A\) e \(A_x\). Innanzitutto, valutiamo la matrice \(A\):

\[ \text{det}(A) = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 \\ -5 & 3 & 2 \\ 3 & -4 & 1 \end{vmatrix} \]

Usando lo sviluppo di Laplace lungo la prima riga (moltiplicando ciascun elemento della prima riga per il determinante della matrice 2x2 che rimane barrando la sua riga e colonna):

\[ \text{det}(A) = 2 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + (-3) \begin{vmatrix} -5 & 3 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} \]

Calcolando i determinanti 2x2 usando la formula \( (ad - bc) \):

\[ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} = 3(1) - 2(-4) = 3 + 8 = 11 \]

\[ \begin{vmatrix} -5 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = (-5)(1) - (2)(3) = -5 - 6 = -11 \]

\[ \begin{vmatrix} -5 & 3 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} = (-5)(-4) - (3)(3) = 20 - 9 = 11 \]

Sostituisci questi valori calcolati nella formula del determinante principale:

\[ \text{det}(A) = 2(11) - 1(-11) + (-3)(11) = 22 + 11 - 33 = 0 \]

Quindi, abbiamo stabilito che \(\text{det}(A) = 0\). Ciò significa che il sistema non ha una soluzione unica. Ora verifichiamo il determinante della matrice modificata \(A_x\):

\[ \text{det}(A_x) = \begin{vmatrix} 5 & 1 & -3 \\ 7 & 3 & 2 \\ 8 & -4 & 1 \end{vmatrix} \]

Calcoliamo questo usando lo sviluppo di Laplace lungo la prima riga esattamente allo stesso modo:

\[ \text{det}(A_x) = 5 \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 8 & 1 \end{vmatrix} + (-3) \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 8 & -4 \end{vmatrix} \]

Calcola i determinanti 2x2:

\[ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 1 \end{vmatrix} = 11, \quad \begin{vmatrix} 7 & 2 \\ 8 & 1 \end{vmatrix} = 7 - 16 = -9, \quad \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ 8 & -4 \end{vmatrix} = -28 - 24 = -52 \]

Sostituendo questi valori nella formula dello sviluppo:

\[ \text{det}(A_x) = 5(11) - 1(-9) + (-3)(-52) = 55 + 9 + 156 = 220 \]

Non è necessario continuare a calcolare \(A_y\) o \(A_z\). Poiché la Regola di Cramer richiede la divisione per \( \text{det}(A) \), la valutazione di \( x \) risulterebbe in \( \dfrac{220}{0} \), che non è definita. Se uno dei determinanti di \(A_x\), \(A_y\) o \(A_z\) è diverso da zero mentre il determinante principale è zero, il sistema di equazioni è incompatibile e non ha soluzioni.

Per combinare e sommare i logaritmi, essi devono condividere esattamente la stessa base. Possiamo usare la formula del cambio di base, \( \log_b(a) = \dfrac{\log_c(a)}{\log_c(b)} \), per convertire tutti i logaritmi dell'equazione in base 2.

Innanzitutto, converti il termine in base 4. Sappiamo che \( \log_2(4) = 2 \):

\[ \log_4(x) = \dfrac{\log_2(x)}{\log_2(4)} = \dfrac{\log_2(x)}{2} = \dfrac{1}{2}\log_2(x) \]

Successivamente, converti il termine in base 16. Sappiamo che \( \log_2(16) = 4 \):

\[ \log_{16}(x) = \dfrac{\log_2(x)}{\log_2(16)} = \dfrac{\log_2(x)}{4} = \dfrac{1}{4}\log_2(x) \]

Ora sostituisci questi termini convertiti nell'equazione originale:

\[ \log_2(x) + \dfrac{1}{2}\log_2(x) + \dfrac{1}{4}\log_2(x) = 7 \]

Poiché tutti i termini ora condividono la variabile \( \log_2(x) \), possiamo metterla in evidenza:

\[ \log_2(x) \left(1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\right) = 7 \]

Trova un denominatore comune (che è 4) per sommare le frazioni all'interno delle parentesi:

\[ \log_2(x) \left(\dfrac{4}{4} + \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4}\right) = 7 \]

\[ \dfrac{7}{4}\log_2(x) = 7 \]

Moltiplica entrambi i lati per il reciproco \( \dfrac{4}{7} \) per isolare il logaritmo:

\[ \log_2(x) = 4 \]

Infine, converti l'equazione dalla forma logaritmica alla forma esponenziale (\( \text{base}^{\text{risultato}} = \text{argomento} \)) per risolvere rispetto a \( x \):

\[ x = 2^4 \]

\[ \mathbf{x = 16} \]

Questo sistema sembra intimidatorio, ma possiamo usare la normale identità algebrica per la somma di due cubi per fattorizzare la prima equazione e semplificare il sistema:

\[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \]

Sostituisci i valori noti delle equazioni originali in questa identità. Sappiamo che i cubi sommano a 35 e le variabili di base sommano a 5:

\[ 35 = (5)(x^2 - xy + y^2) \]

Dividi entrambi i lati per 5 per isolare l'espressione quadratica:

\[ x^2 - xy + y^2 = 7 \quad \text{(Equazione A)} \]

Abbiamo bisogno di un'altra equazione da confrontare con questa. Osserviamo l'espressione \( (x+y)^2 \). Se prendiamo la seconda equazione data \( (x+y = 5) \) ed eleviamo al quadrato entrambi i lati, otteniamo:

\[ (x+y)^2 = 5^2 \]

Sviluppa il binomio al quadrato:

\[ x^2 + 2xy + y^2 = 25 \quad \text{(Equazione B)} \]

Ora possiamo sottrarre l'Equazione A dall'Equazione B per eliminare i termini al quadrato e isolare \( xy \):

\[ (x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - xy + y^2) = 25 - 7 \]

\[ 3xy = 18 \]

Dividi per 3:

\[ xy = 6 \]

Abbiamo semplificato il sistema cubico complesso in un puzzle molto più semplice: stiamo cercando due numeri la cui somma è 5 (\( x+y=5 \)) e il cui prodotto è 6 (\( xy=6 \)). Geometricamente, questi sono le radici di un'equazione quadratica nella forma \( t^2 - (\text{somma})t + (\text{prodotto}) = 0 \).

\[ t^2 - 5t + 6 = 0 \]

Fattorizzando l'equazione quadratica si ottiene \( (t-2)(t-3) = 0 \), il che significa che i due numeri devono essere 2 e 3.

Poiché il sistema originale di equazioni è perfettamente simmetrico rispetto a \( x \) e \( y \), ciascuna variabile può assumere uno qualsiasi dei due valori. Le soluzioni sono le coppie di coordinate:

\[ \mathbf{(2, 3) \quad \text{e} \quad (3, 2)} \]

Per risolvere una disuguaglianza razionale, dobbiamo prima trovare tutti i punti critici fattorizzando completamente sia il numeratore che il denominatore.

Entrambe le espressioni superiore e inferiore sono differenze di quadrati. Fattorizziamole:

\[ \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 2)(x + 2)} \leq 0 \]

I punti critici si verificano dove il numeratore è zero (rappresentando le intercette x) e dove il denominatore è zero (rappresentando gli asintoti verticali in cui la funzione non è definita).

• Zeri del numeratore: \( x = 3, x = -3 \). Poiché la disuguaglianza è "minore o uguale a" (\( \leq \)), alla funzione è consentito essere uguale a zero. Pertanto, questi punti saranno inclusi nella nostra soluzione finale (usando le parentesi quadre).
• Zeri del denominatore: \( x = 2, x = -2 \). Poiché la divisione per zero è matematicamente non definita, la funzione non può mai esistere in questi punti. Pertanto, questi punti non saranno mai inclusi nella nostra soluzione finale (usando le parentesi tonde).

Collochiamo questi quattro punti critici su una retta numerica in ordine numerico: -3, -2, 2, 3. Questo divide la retta numerica in cinque intervalli distinti. Dobbiamo testare un valore casuale all'interno di ciascun intervallo per vedere se l'espressione frazionaria complessiva si valuta in un numero positivo o negativo:

• Intervallo \( (-\infty, -3) \): Testiamo \( x = -4 \). I segni dei termini fattorizzati sono \( \dfrac{(-)(-)}{(-)(-)} \). Un numero negativo diviso per uno negativo è positivo.
• Intervallo \( (-3, -2) \): Testiamo \( x = -2.5 \). I segni sono \( \dfrac{(-)(+)}{(-)(-)} \). Un numero negativo diviso per un positivo è negativo.
• Intervallo \( (-2, 2) \): Testiamo \( x = 0 \). I segni sono \( \dfrac{(-)(+)}{(-)(+)} \). Un numero negativo diviso per un negativo è positivo.
• Intervallo \( (2, 3) \): Testiamo \( x = 2.5 \). I segni sono \( \dfrac{(-)(+)}{(+)(+)} \). Un numero negativo diviso per un positivo è negativo.
• Intervallo \( (3, \infty) \): Testiamo \( x = 4 \). I segni sono \( \dfrac{(+)(+)}{(+)(+)} \). Un numero positivo diviso per un positivo è positivo.

La disuguaglianza ci chiede di trovare dove l'espressione è minore o uguale a 0, il che significa che vogliamo gli intervalli Negativi. Questi sono gli intervalli compresi tra -3 e -2, e tra 2 e 3.

Applicando le nostre regole di inclusione (parentesi quadre per le radici del numeratore, parentesi tonde per le radici del denominatore non definite), scriviamo la notazione di intervallo finale:

\[ \mathbf{[-3, -2) \cup (2, 3]} \]