Test di pratica di matematica per il 12º anno: 17 problemi con soluzioni

1. Sposta tutti i termini da un lato:

\[ \dfrac{x+1}{x+2} - 1 - \dfrac{1}{x-1} \geq 0 \]

2. Trova un denominatore comune, che è $(x+2)(x-1)$:

\[ \dfrac{(x+1)(x-1) - (x+2)(x-1) - (x+2)}{(x+2)(x-1)} \geq 0 \] \[ \dfrac{(x^2-1) - (x^2+x-2) - (x+2)}{(x+2)(x-1)} \geq 0 \] \[ \dfrac{x^2 - 1 - x^2 - x + 2 - x - 2}{(x+2)(x-1)} \geq 0 \] \[ \dfrac{-2x - 1}{(x+2)(x-1)} \geq 0 \]

3. Identifica i punti critici: $x = -0.5$ (numeratore zero), $x = -2$ e $x = 1$ (denominatore non definito).

4. Testa gli intervalli:

• $(-\infty, -2)$: Test $x = -3 \implies \dfrac{5}{(-1)(-4)} > 0$ (Vero)
• $(-2, -0.5]$: Test $x = -1 \implies \dfrac{1}{(1)(-2)} < 0$ (Falso)
• $[-0.5, 1)$: Test $x = 0 \implies \dfrac{-1}{(2)(-1)} > 0$ (Vero)
• $(1, \infty)$: Test $x = 2 \implies \dfrac{-5}{(4)(1)} < 0$ (Falso)

Insieme delle soluzioni:

Disuguaglianza: $x < -2$ oppure $-0.5 \leq x < 1$

Intervallo: $(-\infty, -2) \cup [-0.5, 1)$

1. Riscrivi $1/\sec x$ come $\cos x$:

\[ \cos(2x) - 2\cos x = 2 \]

2. Usa l'identità di duplicazione $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$:

\[ 2\cos^2 x - 1 - 2\cos x = 2 \] \[ 2\cos^2 x - 2\cos x - 3 = 0 \]

3. Applica la formula quadratica per $\cos x$:

\[ \cos x = \dfrac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(2)(-3)}}{2(2)} = \dfrac{2 \pm \sqrt{28}}{4} = \dfrac{1 \pm \sqrt{7}}{2} \]

4. Valuta i valori:

• $\dfrac{1 + \sqrt{7}}{2} \approx 1.82$ (Impossibile, poiché $|\cos x| \leq 1$)
• $\dfrac{1 - \sqrt{7}}{2} \approx -0.823$ (Valido)

5. Trova $x$: $x = \arccos\left(\dfrac{1-\sqrt{7}}{2}\right)$. Questo si verifica nei Quadranti II e III.

$x \approx 2.54 \text{ rad}$ e $x \approx 3.74 \text{ rad}$.

1. Combina i logaritmi usando la regola del quoziente:

\[ \ln\left(\dfrac{x^2 + 2}{x - 1}\right) = 2 \]

2. Converti in forma esponenziale:

\[ \dfrac{x^2 + 2}{x - 1} = e^2 \]

3. Riorganizza in un'equazione quadratica:

\[ x^2 + 2 = e^2(x - 1) \implies x^2 - e^2x + (e^2 + 2) = 0 \]

4. Risolvi usando la formula quadratica:

\[ x = \dfrac{e^2 \pm \sqrt{(-e^2)^2 - 4(1)(e^2 + 2)}}{2} \]

Nota: $x$ deve essere maggiore di 1 affinché il termine originale $\ln(x-1)$ sia definito. Usa una calcolatrice per trovare i valori decimali e verificare il dominio.

1. Sia $u = 2^x$. Allora $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2 = u^2$.

2. Sostituisci nell'equazione:

\[ 3u^2 + u - 30 = 0 \]

3. Scomponi in fattori l'equazione quadratica:

\[ (3u + 10)(u - 3) = 0 \]

4. Risolvi rispetto a $u$:

• $u = -10/3$ (Scartato, poiché $2^x$ deve essere positivo)
• $u = 3$ (Valido)

5. Risolvi rispetto a $x$:

\[ 2^x = 3 \implies x = \dfrac{\ln 3}{\ln 2} \approx 1.58 \]

1. Lavora con il membro di sinistra (LHS). Usa $\tan(2x) = \dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)}$:

\[ \text{LHS} = \dfrac{1}{2 \sin x} \cdot \dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)} \]

2. Usa l'identità di duplicazione $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$:

\[ \text{LHS} = \dfrac{1}{2 \sin x} \cdot \dfrac{2 \sin x \cos x}{\cos(2x)} = \dfrac{\cos x}{\cos(2x)} \]

3. Lavora con il membro di destra (RHS). Ricorda l'identità di duplicazione $\cos(2x) = 1 - 2 \sin^2 x$:

\[ \text{RHS} = \dfrac{\cos x}{1 - 2 \sin^2 x} = \dfrac{\cos x}{\cos(2x)} \]

4. Conclusione: LHS = RHS. L'identità è verificata.

1. Semplifica l'angolo: $\dfrac{13\pi}{12} = \pi + \dfrac{\pi}{12}$. Poiché $\tan(\pi + \theta) = \tan \theta$:

\[ \tan\left(\dfrac{13\pi}{12}\right) = \tan\left(\dfrac{\pi}{12}\right) \]

2. Usa l'identità di sottrazione $\tan(A - B) = \dfrac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ con $A = \dfrac{\pi}{4}$ e $B = \dfrac{\pi}{6}$:

\[ \tan\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \tan\left(\dfrac{\pi}{4} - \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1 - 1/\sqrt{3}}{1 + (1)(1/\sqrt{3})} \]

3. Razionalizza e semplifica:

\[ = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \dfrac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \dfrac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3} \]

1. Dal Teorema del Fattore, poiché $x - 1$ è un fattore, $P(1) = 0$.

2. Dal Teorema del Resto, $P(-1) = 4$ e $P(2) = 4$.

3. Sia $P(x) = (x - 1)(x^2 + bx + c)$ poiché il grado è 3 e il coefficiente guida è 1.

4. Usa $P(-1) = 4$:

\[ (-1 - 1)((-1)^2 - b + c) = 4 \implies -2(1 - b + c) = 4 \implies 1 - b + c = -2 \implies c - b = -3 \]

5. Usa $P(2) = 4$:

\[ (2 - 1)((2)^2 + 2b + c) = 4 \implies 1(4 + 2b + c) = 4 \implies 2b + c = 0 \implies c = -2b \]

6. Risolvi rispetto a $b, c$: Sostituisci $c = -2b$ in $c - b = -3$:

\[ -2b - b = -3 \implies -3b = -3 \implies b = 1, \quad c = -2 \]

7. Polinomio finale: $P(x) = (x-1)(x^2 + x - 2) = x^3 + x^2 - 2x - x^2 - x + 2 = x^3 - 3x + 2$.

1. Raccogli $-x$: $f(x) = -x(x^3 + 5x^2 + 3x - 9)$.

2. Testa le radici del termine cubico. $P(1) = 1 + 5 + 3 - 9 = 0$. Quindi $(x - 1)$ è un fattore.

3. Usa la divisione polinomiale per trovare il fattore quadratico: $x^3 + 5x^2 + 3x - 9 = (x - 1)(x^2 + 6x + 9)$.

4. Scomponi il fattore quadratico: $(x^2 + 6x + 9) = (x + 3)^2$.

Forma fattorizzata completa: $f(x) = -x(x - 1)(x + 3)^2$.

5. Zeri: $x = 0$ (molteplicità 1), $x = 1$ (molteplicità 1), $x = -3$ (molteplicità 2).

1. Identifica zeri e molteplicità dal grafico:

• In $x = -2$: Il grafico attraversa l'asse (molteplicità 1).
• In $x = -1$: Il grafico tocca l'asse (molteplicità 2).
• In $x = 2$: Il grafico attraversa l'asse (molteplicità 1).

2. Scrivi la forma generale: $g(x) = a(x + 2)(x + 1)^2(x - 2)$.

3. Usa l'intercetta y $(0, 2)$ per trovare $a$:

\[ 2 = a(0 + 2)(0 + 1)^2(0 - 2) \] \[ 2 = a(2)(1)(-2) \] \[ 2 = -4a \implies a = -0.5 \]

Equazione finale:

\[ g(x) = -0.5(x + 2)(x + 1)^2(x - 2) \]

1. Identifica i parametri chiave:

• Ampiezza: 0.5 (Riflessa rispetto alla linea mediana)
• Periodo: $2\pi/4 = \pi/2$
• Sfasamento: $-\pi/16$ (a sinistra)
• Traslazione verticale (Linea mediana): $y = 2.5$

2. Punti chiave (inizia dallo sfasamento, incrementa di Periodo/4 = $\pi/8$):

• $x = -\pi/16 \implies y = 2.5$
• $x = \pi/16 \implies y = 2.0$ (min a causa del seno negativo)
• $x = 3\pi/16 \implies y = 2.5$
• $x = 5\pi/16 \implies y = 3.0$ (max)
• $x = 7\pi/16 \implies y = 2.5$

3. Grafico di $y = - 0.5 \sin \left( 4(x+\dfrac{\pi}{16}) \right) + 2.5$:

1. Trova l'ampiezza ($A$): Max = 1, Min = 0.

\[ A = \dfrac{\text{Max} - \text{Min}}{2} = \dfrac{1 - 0}{2} = 0.5 \]

2. Trova la traslazione verticale ($d$):

\[ d = \dfrac{\text{Max} + \text{Min}}{2} = \dfrac{1 + 0}{2} = 0.5 \]

3. Trova il periodo ($P$): Dato come 3 secondi.

4. Calcola $b$:

\[ b = \dfrac{2\pi}{P} = \dfrac{2\pi}{3} \]

5. Trova lo sfasamento ($c$): Per una funzione coseno, lo sfasamento corrisponde alla posizione orizzontale del massimo. Il problema indica che il massimo è in $t = 2.25$.

\[ c = 2.25 \]

Equazione finale:

\[ V(t) = 0.5 \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}(t - 2.25)\right) + 0.5 \]

a) Dominio: Tutti i numeri reali tranne dove il denominatore è zero. $x \neq -2$.

b) Intercette:

• Intercetta x (poni $y=0$): $2x - 4 = 0 \implies x = 2$.
• Intercetta y (poni $x=0$): $y = -4/2 = -2$.

c) Asintoti:

• Verticale: $x = -2$.
• Orizzontale (limite per $x \to \infty$): $y = 2/1 = 2$.

Grafico di $y = \dfrac{2 x - 4}{x+2}$:

a) Dominio: $x \in \mathbb{R}, x \neq -2$.

b) Intercette: intercetta x in $x = \pm 3$; intercetta y in $y = -4.5$.

c) Asintoti:

• Verticale: $x = -2$.
• Orizzontale: Nessuno (il grado del numeratore è maggiore del denominatore).
• Obliquo: Usa la divisione lunga. $(x^2-9) \div (x+2) = (x-2)$ con resto $-5$. L'asintoto obliquo è $y = x - 2$.
• Tabella dei segni: \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, -3) & -3 & (-3, -2) & -2 & (-2, 3) & 3 & (3, \infty) \\ \hline (x+3) & - & 0 & + & + & + & + & + \\ \hline (x-3) & - & - & - & - & - & 0 & + \\ \hline (x+2) & - & - & - & \text{non def} & + & + & + \\ \hline y = \dfrac{(x+3)(x-3)}{x+2} & \mathbf{-} & 0 & \mathbf{+} & \text{non def} & \mathbf{-} & 0 & \mathbf{+} \\ \hline \text{Posizione} & \text{Sotto} & \text{Int-x} & \text{Sopra} & \text{AV} & \text{Sotto} & \text{Int-x} & \text{Sopra} \\ \hline \end{array} \]

1. Identifica il foro: Il foro si trova in $x = 2$. Questo significa che $(x - 2)$ deve essere un fattore sia nel numeratore che nel denominatore.

2. Identifica l'Asintoto Verticale: AV in $x = 1$. Questo significa che $(x - 1)$ è un fattore nel denominatore.

3. Identifica l'Asintoto Orizzontale (AO): L'AO si trova in $y = 0$. Questo conferma che il grado del denominatore (grado 2) è maggiore del grado del numeratore (che deve essere di grado 1).

4. Costruisci la funzione:

\[ h(x) = a \cdot \dfrac{x - 2}{(x - 1)(x - 2)} = a \cdot \dfrac{1}{(x - 1)} \]

5. Determina la costante \( a \) usando il foro in $(2, 2)$ :

\[ 2 = a \cdot \dfrac{1}{(2 - 1)} \implies a = 2 \]

6. Equazione finale:

\[ h(x) = \dfrac{2(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} \]

Nota: La forma semplificata per il disegno (escluso il foro) è \( y = \dfrac{2}{x - 1} \).

a) Dominio: L'argomento deve essere positivo. $x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > 1 \implies x > 1$ oppure $x < -1$.

b) Intercette: Nessuna intercetta y (0 non è nel dominio). Per l'intercetta x, poni $y=0$:

\[ -0.5 \log_2(x^2 - 1) = 1 \implies \log_2(x^2 - 1) = -2 \implies x^2 - 1 = 2^{-2} = 0.25 \] \[ x^2 = 1.25 \implies x \approx \pm 1.12 \]

c) Asintoti: Asintoti verticali dove l'argomento si avvicina a zero: $x = 1$ e $x = -1$.

d) Nota che $f(-x) = f(x)$ e pertanto il grafico è simmetrico rispetto all'asse y.

Grafico di $ y = -0.5 \log_2(x^2 - 1)-1 $:

a) Dominio: Tutti i numeri reali $(-\infty, \infty)$.

b) Intercette: Intercetta y in $x = 0 \implies y = 2 + e^{-2} \approx 2.135$. Nessuna intercetta x perché $e^{(x-2)} + 2$ è sempre maggiore di 2.

c) Asintoti: L'asintoto orizzontale per $x \to -\infty$ è $y = 2$.

Grafico di $ y = 2 + e^{(x-2)} $:

a) Dominio: $2x - 1 > 0 \implies x > 0.5$. Codominio: Tutti i numeri reali.

b) Ricerca della funzione inversa:

\[ x = \ln(2y - 1) + 2 \] \[ x - 2 = \ln(2y - 1) \] \[ e^{x-2} = 2y - 1 \] \[ y = \dfrac{e^{x-2} + 1}{2} \]

Funzione inversa: $h^{-1}(x) = 0.5(e^{x-2} + 1)$.

Dominio dell'inversa: Tutti i numeri reali. Codominio dell'inversa: $y > 0.5$.