Padroneggia la matematica del 12º anno: 21 problemi e soluzioni completi
Risoluzione avanzata di problemi per gli studenti dell'ultimo anno delle superiori
Vengono presentati problemi di matematica per il 12º anno con soluzioni dettagliate. Questi problemi sono progettati per sfidare e migliorare le tue capacità analitiche. Ulteriori test di pratica di matematica per il 12º anno sono inclusi in questo sito web.
Problema 1
Due pompe grandi e 1 piccola possono riempire una piscina in 4 ore. Una pompa grande e 3 piccole possono anch'esse riempire la stessa piscina in 4 ore. Quante ore ci vorranno affinché 4 pompe grandi e 4 piccole riempiano la piscina? (Supponiamo che tutte le pompe grandi siano simili e tutte le pompe piccole siano simili.)
Mostra la soluzione
Sia \(R\) e \(r\) rispettivamente il tasso di lavoro delle pompe grandi e piccole.
\(4(2R + r) = 1\): 2 grandi e 1 piccola lavorano per 4 ore per svolgere 1 lavoro
\(4(R + 3r) = 1\): 1 grande e 3 piccole lavorano per 4 ore per svolgere 1 lavoro
\(T(4R + 4r) = 1\): Trova il tempo \(T\) se 4 grandi e 4 piccole devono svolgere un lavoro.
Risolvi rispetto a \(R\) e \(r\) il sistema delle prime due equazioni, quindi sostituisci nella terza e risolvi rispetto a \(T\) per trovare il tempo: \(T = \dfrac{5}{3}\) ore = 1 ora e 40 minuti.
Problema 2
Trova tutti i lati di un triangolo rettangolo il cui perimetro è uguale a 60 cm e la cui area è uguale a 150 centimetri quadrati.
Mostra la soluzione
\(x + y + H = 60\): perimetro, \(x\), \(y\) e \(H\) sono i due cateti e l'ipotenusa del triangolo rettangolo
\(\dfrac{1}{2}xy = 150\): area
\(x^2 + y^2 = H^2\): teorema di Pitagora
3 equazioni con 3 incognite.
\((x + y)^2 - 2xy = H^2\): completamento del quadrato nella terza equazione.
\(x + y = 60 - H\): esprimi \(x + y\) usando la prima equazione e usa la seconda equazione per trovare \(xy = 300\) e sostituisci nell'equazione 5.
\((60 - H)^2 - 600 = H^2\): un'equazione con un'incognita.
Risolvi rispetto a \(H\) per trovare \(H = 25\) cm. Sostituisci e risolvi rispetto a \(x\) e \(y\) per trovare \(x = 15\) cm e \(y = 20\) cm.
Problema 3
Un cerchio di centro (-3, -2) passa attraverso i punti (0, -6) e (a, 0). Trova a.
Mostra la soluzione
\(\sqrt{((-6 + 2)^2 + (0 + 3)^2)} = \sqrt{((a + 3)^2 + (0 + 2)^2)}\): le distanze dal centro a qualsiasi punto della circonferenza sono uguali.
\(25 = (a + 3)^2 + 4\): Semplifica ed eleva al quadrato entrambi i lati
\((a + 3)^2 = 21\): Riscrivi l'equazione precedente
Risolvi rispetto a \(a\):
\(a = -3 + \sqrt{21}\) oppure \(a = -3 - \sqrt{21}\)
Problema 4
Trova l'equazione della retta tangente nel punto (0, 2) alla circonferenza con equazione:
\((x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 13\)
Mostra la soluzione
(-2, -1): centro della circonferenza
\(m = \dfrac{2 - (-1)}{0 - (-2)} = \dfrac{3}{2}\): pendenza della retta passante per il centro e il punto di tangenza (0, 2)
La retta passante per il centro e il punto di tangenza (0, 2) è perpendicolare alla tangente.
\(M = -\dfrac{2}{3}\): pendenza della tangente
\(y = -\dfrac{2}{3}x + 2\): equazione della tangente data la sua pendenza e il punto (0, 2).
Problema 5
Un esame è composto da tre parti. Nella parte A, uno studente deve rispondere a 2 domande su 3. Nella parte B, uno studente deve rispondere a 6 domande su 8 e nella parte C, uno studente deve rispondere a tutte le domande. Quante scelte di domande ha lo studente?
Mostra la soluzione
\(_{3}C_{2} \times _{8}C_{6} \times 1 = 84\): Uso del principio fondamentale del calcolo combinatorio
Problema 6
Risolvi rispetto a x l'equazione \[ x^2 - 3|x - 2| - 4x = - 6 \]
Mostra la soluzione
\( x^2 - 3|x - 2| - 4x = - 6 \) : dato
Sia \( Y = x - 2 \) il che dà \( x = Y + 2 \)
\( (Y + 2)^2 - 3|Y| - 4(Y + 2) = - 6 \) : sostituisci \( x \) con \( Y + 2 \) nell'equazione data
\( Y^2 - 3|Y| + 2 = 0 \)
\( Y^2 = |Y|^2 \) : nota
\( |Y|^2 - 3|Y| + 2 = 0 \): riscrivi l'equazione come
\( (|Y| - 2)(|Y| - 1) = 0 \): scomponi in fattori
\( |Y| = 2 , |Y| = 1 \) : risolvi rispetto a \( |Y| \)
\( Y = 2, -2 , 1 , -1 \) : risolvi rispetto a \( Y \)
\( x = 4 , 0 , 3 , 1 \) : risolvi rispetto a \( x \) usando \( x = Y + 2\)
Problema 7
Il triangolo rettangolo ABC mostrato di seguito è iscritto all'interno di una parabola. Il punto B è anche il punto di massimo della parabola (vertice) e il punto C è l'intercetta con l'asse x della parabola. Se l'equazione della parabola è data da \( y = -x^2 + 4 x + C \), trova \( C \) in modo che l'area del triangolo ABC sia uguale a \( 32 \) unità quadrate.
Mostra la soluzione
\( h = \dfrac{-b}{2a} = 2 \): coordinata x del vertice della parabola
\( k = -(2)^2 + 4(2) + C = 4 + C \): coordinata y del vertice
\( x = (2 + \sqrt{4 + C}), x = (2 - \sqrt{4 + C}) \): le due intercette con l'asse x della parabola.
Lunghezza di \( BA = k = 4 + C \)
Lunghezza di \( AC = (2 + \sqrt{4 + C}) - 2 = \sqrt{4 + C}\)
\( \text{Area} = \dfrac{1}{2} BA \times AC = \dfrac{1}{2} (4 + C) \times \sqrt{4 + C} \)
\( \dfrac{1}{2} (4 + C) \times \sqrt{4 + C} = 32 \): l'area è uguale a 32
\( C = 12 \): risolvi l'equazione precedente rispetto a \( C \).
Problema 8
Il triangolo delimitato dalle rette \( y = 0\), \(y = 2x \) e \( y = -0.5x + k \), con \( k \) positivo, ha un'area pari a \( 80 \) unità quadrate. Trova \( k \).
Mostra la soluzione
\( A(0,0) \), \( B(2k/5 , 4k/5) \), \( C(2k ,0) \): punti di intersezione delle 3 rette
Area = \( (1/2) \times (4k/5) \times (2k) = 80 \): dato
\( k = 10 \): risolvi l'equazione precedente rispetto a \( k \) positivo.
Problema 9
Una parabola ha due intercette con l'asse \( x \) in \( (-2 , 0) \) e \( (3 , 0) \) e passa per il punto \( (5 , 10) \). Trova l'equazione di questa parabola.
Mostra la soluzione
\(y = a(x + 2)(x - 3) \): Usa le intercette con l'asse x per scrivere l'equazione della parabola in forma fattorizzata
\( 10 = a(5 + 2)(5 - 3) \) poiché \( (5 , 10) \) è un punto sul grafico della parabola e quindi soddisfa l'equazione della parabola.
\( a = 5/7 \): risolvi l'equazione precedente rispetto ad a.
Problema 10
Quando il polinomio \( P(x) = x^3 + 3 x^2 -2 A x + 3 \), dove \( A \) è una costante, viene diviso per \( x^2 + 1 \) si ottiene un resto pari a \( 5 x \). Trova \( A \).
Mostra la soluzione
La divisione di \( x^3 + 3 x^2 -2 A x + 3 \) per \( x^2 + 1 \) dà il resto \( -x (1 + 2 A) \)
\( - x (1 + 2A) = 5 x \): Il resto è dato come \( 5 x \)
\( -(1 + 2A) = 5 \): i polinomi sono uguali se i loro coefficienti corrispondenti sono uguali.
\( A = -3 \): Risolvi l'equazione precedente rispetto a \( A \).
Problema 11
Quando viene diviso per \( x - 1 \), il polinomio \( P(x) = x^5 + 2 x^3 + A x + B \), dove \( A \) e \( B \) sono costanti, ha un resto pari a \( 2 \). Quando \( P(x) \) viene diviso per \( x + 3 \), il resto è pari a \( -314 \). Trova \( A \) e \( B \).
Mostra la soluzione
\( P(1) = 1^5 + 2(1^3) + A \times (1) + B = 2 \): teorema del resto
\( P(-3) = (-3)^5 + 2(-3)^3 + A \times (-3) + B = -314 \): teorema del resto
che fornisce il sistema di equazioni in \( A \) e \( B \):
\[ A + B = -1 \] \[ -3 A + B = -17 \]\( A = 4 \) e \( B = -5 \): risolvi il sistema di equazioni precedente.
Problema 12
Trova tutti i punti di intersezione delle 2 circonferenze definite dalle equazioni:
\( (x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4 \)
\( (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4 \)
Mostra la soluzione
\( x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 4 \): sviluppa l'equazione della prima circonferenza
\( x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = 4 \): sviluppa l'equazione della seconda circonferenza
\( -2x - 2y + 6 = 0 \): sottrai i termini a sinistra e a destra delle equazioni precedenti
\( y = 3 - x \): risolvi l'equazione precedente rispetto a \( y \).
\( 2x^2 - 6x + 1 = 0 \): sostituisci \( y \) con \( 3 - x \) nella prima equazione, sviluppa e raccogli i termini simili.
\(\left(\dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{7}}{2} , \dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{7}}{2} \right), \left(\dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{7}}{2} , \dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{7}}{2} \right)\):
risolvi l'equazione precedente rispetto a \(x \) e usa \( y = 3 - x \) per trovare y.
Problema 13
Se a un intero positivo \( I \) viene aggiunto \( 200 \), il risultato è un numero quadrato. Se a allo stesso intero \( I \) viene aggiunto \( 276 \), si ottiene un altro numero quadrato. Trova \( I \).
Mostra la soluzione
\( I + 200 = A^2 \): 200 aggiunto a \( I \) dà un quadrato.
\( I + 276 = B^2 \): 276 aggiunto a \( I \) dà un altro quadrato.
\( B^2 = A^2 + 76 \): elimina \( I \) dalle due equazioni.
Aggiungi i quadrati \( A^2 \) (0, 1, 4, 9, 16, 25,...) a 76 finché non ottieni un altro quadrato \( B^2 \).
\( 76 + 18^2 = 400 = 20^2 \)
\( A^2 = 18^2 \) e \( B^2 = 20^2 \)
\( I = A^2 - 200 = 124 \)
Problema 14
La somma dei primi tre termini di una progressione geometrica è uguale a \( 42 \). La somma dei quadrati degli stessi termini è uguale a \( 1092 \). Trova i primi tre termini della progressione.
Mostra la soluzione
\(sum_1 = a + a r + a r^2 = 42\): la somma dei primi tre termini dati, \( r \) è la ragione comune.
\(sum_2 = (a)^2 + (a r)^2 + (a r^2)^2 = 1092\): la somma dei quadrati dei tre termini dati.
\(sum_1 = a + ar + a r^2 = \dfrac{ a(r^3 - 1) }{r-1} = 42\): applica la formula per la somma finita di una serie geometrica.
\(sum_2 = a^2 + a^2 r^2 + a^2 r^4 = \dfrac{a^2 (r^6 - 1) }{(r^2 - 1) } = 1092\): la somma dei quadrati è anche una somma di serie geometrica.
\( \dfrac{sum_2}{(sum_1)^2} = \dfrac{ 1092}{42^2 } = \dfrac{\dfrac{a^2(r^6 - 1)}{r^2 - 1}}{\dfrac{a^2 (r^3 - 1)^2}{(r - 1)^2}}\): definisci il rapporto.
\( \dfrac{r^2 - r + 1}{r^2 + r + 1} = \dfrac{1092}{42^2} \): Semplifica il rapporto precedente per ottenere un'equazione.
\( r = 4 , r = 1/4 \): risolvi rispetto a \( r \)
\( a = 2 \): sostituisci \( r = 4 \) in \( sum_1\) e risolvi rispetto a \( a \)
\( a = 32 \): sostituisci \( r = 1/4 \) in \( sum_1\) e risolvi rispetto a \( a \)
\( a = 2 , a r = 8 , a r^2 = 32 \): trova i tre termini per \( r = 4 \)
\( a = 32 , a r = 8 , a r^2 = 2 \): trova i tre termini per \( r = 1/4 \)
Problema 15
Una pietra viene lasciata cadere in un pozzo d'acqua e percorre approssimativamente \( 16 t^2 \) piedi in \( t \) secondi. Se il tonfo viene udito \( 3.5 \) secondi dopo e la velocità del suono è di \( 1087 \) piedi al secondo, qual è la profondità (altezza) del pozzo?
Mostra la soluzione
\( T_1 + T_2 = 3.5 \): dove \( T_1 \) è il tempo impiegato dalla pietra per raggiungere il fondo del pozzo, e \( T_2 \) è il tempo impiegato dal suono per raggiungere la cima del pozzo.
\( 16 \times T_1^2 = 1087 \times T_2 \): Poiché entrambi i termini rappresentano la stessa distanza, che è l'altezza del pozzo.
Risolvendo rispetto a \( T_2 \): \( T_2 = 3.5 - T_1 \)
Sostituendo \( T_2 \) nell'equazione: \( 16 \times T_1^2 = 1087 \times (3.5 - T_1) \)
Risolvendo rispetto a \( T_1 \): \( T_1 = 3.34 \text{ secondi} \)
Infine, calcolando l'altezza del pozzo: \( \text{Altezza} = 16 \times (3.34)^2 = 178 \text{ piedi} \) (arrotondato all'unità più vicina).
Problema 16
Due barche sulle sponde opposte di un fiume iniziano a muoversi l'una verso l'altra. Si incrociano per la prima volta a \( 1400 \) metri da una sponda. Ciascuna prosegue verso la sponda opposta, inverte immediatamente la marcia e torna indietro verso l'altra sponda. Quando si incrociano per la seconda volta, si trovano a \( 600 \) metri dall'altra sponda. Assumiamo che ciascuna barca viaggi a velocità costante per tutto il viaggio. Trova la larghezza del fiume.
Mostra la soluzione
\( S_1 \times t_1 = 1400 \): \( S_1 \) è la velocità della barca 1, \( t_1 \) è il tempo per percorrere 1400 metri.
\( 1400 + S_2 \times t_1 = X \): \( S_2 \) è la velocità della barca 2, \( X \) è la larghezza.
\( S_1 \times t_2 = X + 600 \): \( t_2 \) è il tempo per percorrere \( X + 600 \) metri per la barca 1.
\( S_2 \times t_2 = 2X - 600 \)
\( S_1 = \dfrac{1400}{t_1} \)
\( S_2 = \dfrac{X - 1400}{t_1} \)
Sia \( T = \dfrac{t_2}{t_1} \)
Sostituendo nelle equazioni: \( 1400 \times T = X + 600 \) e \( X \times T - 1400 \times T = 2X - 600 \)
Risolvendo il sistema rispetto a \( X \): \( X = 3600 \text{ metri} \).
Problema 17
Trova le costanti \( a \) e \( b \) affinché tutte e 4 le rette le cui equazioni sono date di seguito passino per lo stesso punto.
\( x + y = - 1 \)
\( - x + 3 y = - 11 \)
\( a x + b y = 4 \)
\( 2 a x - b y = 2 \)
Mostra la soluzione
Risolvi il sistema delle prime due equazioni per ottenere la soluzione \( (2, -3) \).
Il punto \( (2, -3) \) deve soddisfare le ultime due equazioni:
\( a(2) + b(-3) = 4 \)
\( 2a(2) - b(-3) = 2 \)
Risolvendo rispetto a \( a \) e \( b \): \( a = 1, b = -\dfrac{2}{3} \).
Problema 18
Trova l'area del triangolo rettangolo mostrato di seguito.
Mostra la soluzione
La pendenza di \( AB \) è \( -3 \) poiché è perpendicolare a \( OB \) (pendenza \( 1/3 \)).
Equazione di \( AB \): \( y - 5 = -3(x - 5) \implies y = -3x + 20 \).
Punto \( B \): risolvi \( y = -3x + 20 \) e \( y = x/3 \implies B(6,2) \).
Punto \( A \): risolvi \( y = -3x + 20 \) e \( y = 2x \implies A(4,8) \).
\( \overline{OB} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{40} \)
\( \overline{AB} = \sqrt{(6-4)^2 + (2-8)^2} = \sqrt{40} \)
\( \text{Area} = \dfrac{1}{2} \times \sqrt{40} \times \sqrt{40} = 20 \).
Problema 19
Ci vuole per la pompa A un tempo inferiore di \( 2 \) ore rispetto alla pompa B per svuotare una piscina. La pompa A viene avviata alle 8:00 e la pompa B viene avviata alle 10:00. Alle 12:00 il \( 60\% \) della piscina è vuoto quando la pompa B si rompe. Quanto tempo dopo le 12:00 impiegherebbe la pompa A a svuotare il resto della piscina?
Mostra la soluzione
Sia \( t \) il tempo di B; A impiega \( t - 2 \). A lavora 4 ore, B lavora 2 ore.
\( \dfrac{4}{t - 2} + \dfrac{2}{t} = 0.6 \implies 4t + 2(t - 2) = 0.6t(t - 2) \)
\( 0.6t^2 - 7.2t + 4 = 0 \). Soluzione valida \( t = 6 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3} \).
Tempo della pompa A \( t - 2 = 4 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3} \).
Tempo per il restante 40%: \( \text{Tempo} = 0.4 \times (4 + \dfrac{2\sqrt{66}}{3}) \approx 3.766 \text{ ore} \).
Problema 20
Il numero di alunni nella scuola A è uguale alla metà del numero di alunni nella scuola B. Il rapporto tra i ragazzi nella scuola A e i ragazzi nella scuola B è \( 1 : 3 \) e il rapporto tra le ragazze nella scuola A e le ragazze nella scuola B è \( 3 : 5 \). Il numero di ragazzi nella scuola B è superiore di 200 rispetto al numero di ragazzi nella scuola A. Trova il numero di ragazzi e ragazze in ciascuna scuola.
Mostra la soluzione
Sia \( x \) e \( y \) il numero di alunni rispettivamente nelle scuole A e B. Siano \( b_A, g_A, b_B \text{ e } g_B \) i numeri di ragazzi e ragazze nelle scuole A e B
\( x = y/2 \), \( b_B = 3b_A \).
Dato \( b_B = b_A + 200 \implies 2b_A = 200 \implies b_A = 100, b_B = 300 \).
\( g_B = \dfrac{5}{3} g_A \). Poiché \( 2(100 + g_A) = 300 + g_B \):
\( 200 + 2g_A = 300 + \dfrac{5}{3}g_A \implies \dfrac{1}{3}g_A = 100 \implies g_A = 300, g_B = 500 \).
Scuola A: 100 ragazzi, 300 ragazze. Scuola B: 300 ragazzi, 500 ragazze.
Problema 21
Quattro pompe grandi e 2 piccole possono riempire una piscina in 2 ore. Due pompe grandi e 6 piccole possono anch'esse riempire la stessa piscina in 2 ore. Quanto tempo ci vuole affinché 8 pompe grandi e 8 piccole riempiano il 50% della piscina?
Mostra la soluzione
Siano \( L \) e \( S \) rispettivamente i tassi di riempimento di una pompa grande e di una pompa piccola
\( 2(4L + 2S) = 1 \) e \( 2(2L + 6S) = 1 \). Risolvendo: \( L = 1/10, S = 1/20 \).
Tasso totale per 8L e 8S: \( 8(1/10) + 8(1/20) = 6/5 \) di piscina all'ora.
Tempo per il 50%: \( \dfrac{6}{5}t = 0.5 \implies t = 5/12 \text{ ore} = 25 \text{ minuti} \).