Risolvi le equazioni logaritmiche con soluzioni per il 12º anno

Passo 1: Determina il dominio.
Gli argomenti dei logaritmi devono essere positivi:
$2x - 3 > 0 \Rightarrow x > 1.5$
$3 - x > 0 \Rightarrow x < 3$
Pertanto, il dominio di questa equazione è $1.5 < x < 3$.

Passo 2: Riscrivi l'equazione con i termini logaritmici da un lato:
$$ \log(2x - 3) - \log(3 - x) = -2 $$

Passo 3: Riscrivi sostituendo $-2$ con $\log 10^{-2}$:
$$ \log(2x - 3) - \log(3 - x) = \log 10^{-2} $$

Passo 4: Usa la regola del quoziente $\log A - \log B = \log\left(\dfrac{A}{B}\right)$:
$$ \log\left( \dfrac{2x - 3}{3 - x}\right) = \log 10^{-2} $$

Passo 5: La funzione $\log(x)$ è iniettiva (uno-a-uno), quindi deduciamo:
$$ \dfrac{2x - 3}{3 - x} = 10^{-2} = \dfrac{1}{100} $$

Passo 6: Risolvi rispetto a $x$:
$$ 100(2x - 3) = 3 - x $$
$$ 200x - 300 = 3 - x $$
$$ 201x = 303 \Rightarrow x = \dfrac{303}{201} = \dfrac{101}{67} $$

Passo 7: Verifica rispetto al dominio.
$\dfrac{101}{67} \approx 1.507$. Poiché $1.507$ è compreso tra $1.5$ e $3$, la soluzione è valida.
Risposta finale: $x = \dfrac{101}{67}$

Passo 1: Determina il dominio.
$x > 0$
$x^2 - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$ oppure $x < -1$
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
L'intersezione di queste condizioni è $x > 1$. Il dominio è $(1, \infty)$.

Passo 2: Usa le regole dei logaritmi per riscrivere entrambi i lati (regola del quoziente a sinistra, regola della potenza a destra):
$$ \log \left( \dfrac{x}{x^2 - 1}\right) = \log \left((x - 1)^{-2}\right) $$

Passo 3: Elimina i logaritmi (proprietà iniettiva):
$$ \dfrac{x}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{1}{(x - 1)^2} $$

Passo 4: Poiché $x > 1$, $x - 1 \neq 0$. Moltiplica entrambi i lati per $(x - 1)^2(x + 1)$ per eliminare i denominatori:
$$ x(x - 1) = x + 1 $$

Passo 5: Risolvi l'equazione quadratica:
$$ x^2 - x = x + 1 \Rightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 $$
Soluzioni: $x_1 = 1 + \sqrt{2} \approx 2.41$ e $x_2 = 1 - \sqrt{2} \approx -0.41$

Passo 6: Verifica rispetto al dominio.
$x_2 = 1 - \sqrt{2}$ non è maggiore di $1$, quindi viene scartata (estranea).
Risposta finale: $x = 1 + \sqrt{2}$

Passo 1: Determina il dominio.
$2x - 9 > 0 \Rightarrow x > 4.5$
$x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
L'intersezione è $x > 4.5$. Il dominio è $(4.5, \infty)$.

Passo 2: Porta i logaritmi da un lato e sostituisci $2$ con $\log_2 4$:
$$ \log_2(2x - 9) + \log_2(x - 1) = \log_2 4 $$

Passo 3: Applica la regola del prodotto:
$$ \log_2\left( (2x - 9)(x - 1) \right) = \log_2 4 $$

Passo 4: Uguaglia gli argomenti ed espandi:
$$ (2x - 9)(x - 1) = 4 $$
$$ 2x^2 - 11x + 9 = 4 \Rightarrow 2x^2 - 11x + 5 = 0 $$

Passo 5: Risolvi l'equazione quadratica scomponendo in fattori:
$$ (2x - 1)(x - 5) = 0 $$
Soluzioni: $x = \dfrac{1}{2}$ e $x = 5$.

Passo 6: Verifica rispetto al dominio.
$x = \dfrac{1}{2}$ è minore di $4.5$, quindi è estranea. Solo $x = 5$ rientra nel dominio.
Risposta finale: $x = 5$

Passo 1: Determina il dominio.
$x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3$
$x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$
L'intersezione è $x > -1$. Il dominio è $(-1, \infty)$.

Passo 2: Usa la regola della potenza su entrambi i lati:
$$ \ln(x + 3)^2 - \ln(x + 1) = \ln(2^3) $$

Passo 3: Usa la regola del quoziente:
$$ \ln \left( \dfrac{(x + 3)^2}{x + 1} \right) = \ln 8 $$

Passo 4: Elimina i logaritmi naturali e risolvi:
$$ \dfrac{(x + 3)^2}{x + 1} = 8 \Rightarrow (x + 3)^2 = 8(x + 1) $$
$$ x^2 + 6x + 9 = 8x + 8 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0 $$

Passo 5: Scomponi l'equazione quadratica in fattori:
$$ (x - 1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1 $$

Passo 6: Verifica rispetto al dominio.
$x = 1$ è maggiore di $-1$, quindi la soluzione è valida.
Risposta finale: $x = 1$

Passo 1: Determina il dominio.
Da $\log_2(x)$, $x > 0$.
Da $\log_2(x^2)$, $x^2 > 0 \Rightarrow x \neq 0$.
L'intersezione è $x > 0$. Il dominio è $(0, \infty)$.

Passo 2: Usa la regola della potenza per semplificare il secondo termine:
$$ (\log_2(x))^2 - 2 \log_2(x) = 8 $$

Passo 3: Usa la sostituzione. Sia $u = \log_2(x)$:
$$ u^2 - 2u - 8 = 0 $$

Passo 4: Risolvi rispetto a $u$ scomponendo in fattori:
$$ (u - 4)(u + 2) = 0 \Rightarrow u = 4 \text{ oppure } u = -2 $$

Passo 5: Risostituisci per trovare $x$:
$$ \log_2(x) = 4 \Rightarrow x = 2^4 = 16 $$
$$ \log_2(x) = -2 \Rightarrow x = 2^{-2} = \dfrac{1}{4} $$

Passo 6: Verifica rispetto al dominio.
Sia $16$ che $\dfrac{1}{4}$ sono strettamente maggiori di $0$.
Risposta finale: $x = 16$ e $x = \dfrac{1}{4}$

Passo 1: Determina il dominio.
Per il logaritmo interno: $x > 0$.
Per il logaritmo esterno: $\log(x) > 0 \Rightarrow x > 1$.
L'intersezione è $x > 1$. Il dominio è $(1, \infty)$.

Passo 2: Dividi entrambi i lati per $10$:
$$ \log(\log(x)) = 0.1 $$

Passo 3: Converti il logaritmo esterno in forma esponenziale (base 10):
$$ \log(x) = 10^{0.1} $$

Passo 4: Converti il logaritmo interno in forma esponenziale:
$$ x = 10^{\left(10^{0.1}\right)} \approx 10^{1.2589} \approx 18.15 $$

Passo 5: Verifica rispetto al dominio.
$18.15 > 1$, quindi la soluzione è valida.
Risposta finale: $x = 10^{\left(10^{0.1}\right)}$