Problemi e domande di trigonometria con soluzioni

Dimostra l'identità: $$ \tan^2(x) - \sin^2(x) = \tan^2(x) \sin^2(x) $$

---

Soluzione:

Iniziamo con il membro sinistro dell'identità data.

Usa l'identità $\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ per scrivere:

$$ \tan^2(x) - \sin^2(x) = \left(\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 - \sin^2(x) $$

$$ = \dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} - \sin^2(x) $$

Trova un denominatore comune:

$$ = \dfrac{\sin^2(x) - \cos^2(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} $$

Raccogli $\sin^2(x)$ dal numeratore:

$$ = \dfrac{\sin^2(x) \left(1 - \cos^2(x)\right)}{\cos^2(x)} $$

Applica l'identità pitagorica $1 - \cos^2(x) = \sin^2(x)$:

$$ = \dfrac{\sin^2(x) \sin^2(x)}{\cos^2(x)} $$

$$ = \sin^2(x) \tan^2(x) $$

Questo è esattamente uguale al membro destro dell'identità data.

Dimostra l'identità: $$ \dfrac{1 + \cos(x) + \cos(2x)}{\sin(x) + \sin(2x)} = \cot(x) $$

---

Soluzione:

Usa le identità di duplicazione $\cos(2x) = 2 \cos^2(x) - 1$ e $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$ nel membro sinistro dell'identità data:

$$ \dfrac{1 + \cos(x) + \cos(2x)}{\sin(x) + \sin(2x)} $$

$$ = \dfrac{1 + \cos(x) + 2 \cos^2(x) - 1}{\sin(x) + 2 \sin(x) \cos(x)} $$

Semplifica il numeratore eliminando l'$1$ e il $-1$:

$$ = \dfrac{\cos(x) + 2 \cos^2(x)}{\sin(x) + 2 \sin(x) \cos(x)} $$

Raccogli $\cos(x)$ dal numeratore e $\sin(x)$ dal denominatore:

$$ = \dfrac{\cos(x) (1 + 2 \cos(x))}{\sin(x) (1 + 2 \cos(x))} $$

Elimina il fattore binomiale comune $(1 + 2 \cos(x))$:

$$ = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $$

$$ = \cot(x) $$

Questo è uguale al membro destro.

Dimostra l'identità: $$ 4 \sin(x) \cos(x) = \dfrac{\sin(4x)}{\cos(2x)} $$

---

Soluzione:

Usa l'identità di duplicazione $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$. Sostituendo $\theta = 2x$, possiamo riscrivere $\sin(4x)$ come $2 \sin(2x) \cos(2x)$.

Sostituisci questo nel membro destro dell'identità data:

$$ \dfrac{\sin(4x)}{\cos(2x)} = \dfrac{2 \sin(2x) \cos(2x)}{\cos(2x)} $$

Elimina $\cos(2x)$:

$$ = 2 \sin(2x) $$

Applica nuovamente l'identità di duplicazione per $\sin(2x)$:

$$ = 2 \times [2 \sin(x) \cos(x)] $$

$$ = 4 \sin(x) \cos(x) $$

Questo è uguale al membro sinistro.

Risolvi l'equazione trigonometrica:

$$ \sin(x) + \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0 \quad \text{per} \quad 0 \le x \le 2\pi $$

---

Soluzione:

Usa l'identità $\sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta)$ per riscrivere $\sin(x)$ ponendo $\theta = \dfrac{x}{2}$:

$$ \sin(x) = \sin\left(2 \left( \dfrac{x}{2} \right)\right) = 2 \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) $$

Sostituisci questo nell'equazione data:

$$ 2 \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0 $$

Raccogli $\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)$:

$$ \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \left( 2 \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + 1 \right) = 0 $$

Questo dà due equazioni separate da risolvere:

a) $\sin\left(\dfrac{x}{2}\right) = 0$

Le soluzioni per l'angolo sono $\dfrac{x}{2} = 0$ e $\dfrac{x}{2} = \pi$.

Risolvi rispetto a $x$ per ottenere: $x = 0$ e $x = 2\pi$.

b) $2 \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) + 1 = 0$

Questo può essere scritto come $\cos\left(\dfrac{x}{2}\right) = -\dfrac{1}{2}$.

Le soluzioni per l'angolo sono $\dfrac{x}{2} = \dfrac{2\pi}{3}$ e $\dfrac{x}{2} = \dfrac{4\pi}{3}$.

Risolvi rispetto a $x$ per ottenere: $x = \dfrac{4\pi}{3}$ e $x = \dfrac{8\pi}{3}$.

Nota che $\dfrac{8\pi}{3}$ è maggiore di $2\pi$ e cade al di fuori dell'intervallo dato, quindi viene scartato.

Soluzioni finali: $\left\{ 0, \dfrac{4\pi}{3}, 2\pi \right\}$

Risolvi l'equazione trigonometrica:

$$ (2\sin(x) - 1)(\tan(x) - 1) = 0 \quad \text{per} \quad 0 \le x \le 2\pi $$

---

Soluzione:

L'equazione data è già in forma fattorizzata, il che porta direttamente a due equazioni da risolvere:

$$ 2\sin(x) - 1 = 0 \quad \text{e} \quad \tan(x) - 1 = 0 $$

Le suddette equazioni possono essere scritte come:

$$ \sin(x) = \dfrac{1}{2} \quad \text{e} \quad \tan(x) = 1 $$

Le soluzioni dell'equazione $\sin(x) = \dfrac{1}{2}$ nell'intervallo $[0, 2\pi]$ sono:

$$ x = \dfrac{\pi}{6} \quad \text{e} \quad x = \dfrac{5\pi}{6} $$

Le soluzioni dell'equazione $\tan(x) = 1$ nell'intervallo $[0, 2\pi]$ sono:

$$ x = \dfrac{\pi}{4} \quad \text{e} \quad x = \dfrac{5\pi}{4} $$

Soluzioni finali: $\left\{ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{5\pi}{4} \right\}$

Risolvi l'equazione trigonometrica:

$$ \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) = 0 \quad \text{per} \quad 0 \le x \le 2\pi $$

---

Soluzione:

Usa la formula $\cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B)$ per condensare l'espressione. Qui, poniamo $A = 2x$ e $B = x$:

$$ \cos(2x + x) = \cos(2x) \cos(x) - \sin(2x) \sin(x) $$

Quindi l'equazione data può essere scritta come:

$$ \cos(3x) = 0 $$

Poiché $x \in [0, 2\pi]$, il dominio per $3x$ è $[0, 6\pi]$. Risolvi l'equazione rispetto a $3x$ per ottenere tutti gli zeri della funzione coseno in questo intervallo esteso:

$$ 3x = \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{2}, \dfrac{9\pi}{2}, \dfrac{11\pi}{2} $$

Dividi ciascuno per $3$ per risolvere rispetto a $x$:

Soluzioni finali: $\left\{ \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{6}, \dfrac{7\pi}{6}, \dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{11\pi}{6} \right\}$

Semplifica l'espressione trigonometrica:

$$ \dfrac{\sin(2x) - \cos(x)}{\cos(2x) + \sin(x) - 1} $$

---

Soluzione:

Usa le identità $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$ e $\cos(2x) = 1 - 2 \sin^2(x)$ per riscrivere l'espressione:

$$ \dfrac{2 \sin(x) \cos(x) - \cos(x)}{1 - 2 \sin^2(x) + \sin(x) - 1} $$

Semplifica il denominatore eliminando l'$1$ e il $-1$:

$$ = \dfrac{2 \sin(x) \cos(x) - \cos(x)}{-2 \sin^2(x) + \sin(x)} $$

Raccogli $\cos(x)$ dal numeratore e $\sin(x)$ dal denominatore:

$$ = \dfrac{\cos(x)(2 \sin(x) - 1)}{\sin(x)(-2 \sin(x) + 1)} $$

Nota che $(2 \sin(x) - 1)$ e $(-2 \sin(x) + 1)$ sono opposti (si moltiplicano per $-1$ per diventare uguali). Semplificali lasciando un $-1$:

$$ = - \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $$

$$ = - \cot(x) $$

Dimostra che:

$$ \sin(105^\circ) = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$

---

Soluzione:

$105^\circ$ può essere scritto come la somma di due angoli notevoli:

$$ 105^\circ = 60^\circ + 45^\circ $$

Quindi:

$$ \sin(105^\circ) = \sin(60^\circ + 45^\circ) $$

Usa l'identità $\sin(A + B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)$ per scrivere:

$$ \sin(105^\circ) = \sin(60^\circ)\cos(45^\circ) + \cos(60^\circ)\sin(45^\circ) $$

Usa la tabella degli angoli notevoli per i valori esatti:

$$ = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) $$

Moltiplica le frazioni:

$$ = \dfrac{\sqrt{6}}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{4} $$

$$ = \dfrac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} $$

Se $\sin(x) = \dfrac{2}{5}$ e $x$ è un angolo acuto, trova i valori esatti di:

1. $\cos(2x)$
2. $\cos(4x)$
3. $\sin(2x)$
4. $\sin(4x)$

---

Soluzione:

Se $\sin(x) = \dfrac{2}{5}$, allora usando l'identità pitagorica $\cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)}$:

$$ \cos(x) = \sqrt{1 - \left(\dfrac{2}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \dfrac{4}{25}} = \sqrt{\dfrac{21}{25}} = \dfrac{\sqrt{21}}{5} $$

a) Trova $\cos(2x)$:

Usa l'identità $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$:

$$ \cos(2x) = 1 - 2\left(\dfrac{4}{25}\right) = 1 - \dfrac{8}{25} = \dfrac{17}{25} $$

c) Trova prima $\sin(2x)$ (necessario per le parti b e d):

Usa l'identità $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$:

$$ \sin(2x) = 2 \left(\dfrac{2}{5}\right) \left(\dfrac{\sqrt{21}}{5}\right) = \dfrac{4\sqrt{21}}{25} $$

b) Trova $\cos(4x)$:

Usa l'identità $\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1$:

$$ \cos(4x) = 2\left(\dfrac{17}{25}\right)^2 - 1 = 2\left(\dfrac{289}{625}\right) - 1 = \dfrac{578}{625} - \dfrac{625}{625} = -\dfrac{47}{625} $$

d) Trova $\sin(4x)$:

Usa l'identità $\sin(4x) = \sin(2(2x)) = 2 \sin(2x) \cos(2x)$:

$$ \sin(4x) = 2 \left(\dfrac{4\sqrt{21}}{25}\right) \left(\dfrac{17}{25}\right) = \dfrac{136\sqrt{21}}{625} $$

Trova la lunghezza del lato $AB$ nella figura sottostante. Arrotonda la risposta a 3 cifre significative.

---

Soluzione:

Nota che il triangolo $DAC$ è isoscele. Pertanto, se tracciamo la perpendicolare da $D$ a $AC$, questa dividerà $AC$ in due metà uguali e bisecherà l'angolo $D$.

Usando il triangolo rettangolo la cui ipotenusa è $AD$ ($10$ unità) e l'angolo è $\dfrac{70^\circ}{2} = 35^\circ$, possiamo scrivere:

$$ \sin(35^\circ) = \dfrac{\dfrac{1}{2}AC}{10} \implies \dfrac{1}{2}AC = 10 \sin(35^\circ) $$

Il che dà:

$$ AC = 20 \sin(35^\circ) $$

Successivamente, nota che i due angoli interni $B$ e $C$ del triangolo $ABC$ sommano $90^\circ$ e quindi il terzo angolo del triangolo $ABC$ (angolo $A$) è un angolo retto.

Possiamo quindi scrivere:

$$ \tan(32^\circ) = \dfrac{AB}{AC} $$

Il che dà:

$$ AB = AC \tan(32^\circ) $$

Sostituisci il valore di $AC$ nell'equazione:

$$ AB = 20 \sin(35^\circ)\tan(32^\circ) \approx 7.17 \quad \text{(arrotondato a 3 cifre significative)} $$

Risolvi l'equazione per tutti i valori reali di $x \in [0, 2\pi]$:

$$ 2\sin^2(x) + 3\cos(x) = 0 $$

---

Soluzione:

Usa l'identità pitagorica $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ per esprimere tutto in termini di coseno:

$$ 2(1 - \cos^2(x)) + 3\cos(x) = 0 $$

$$ 2 - 2\cos^2(x) + 3\cos(x) = 0 $$

Moltiplica per $-1$ per rendere il termine principale positivo:

$$ 2\cos^2(x) - 3\cos(x) - 2 = 0 $$

Sia $u = \cos(x)$ per evidenziare la forma quadratica:

$$ 2u^2 - 3u - 2 = 0 \implies (2u + 1)(u - 2) = 0 $$

Questo produce due equazioni:

$$ \cos(x) = -\dfrac{1}{2} \quad \text{e} \quad \cos(x) = 2 $$

Poiché il codominio della funzione coseno è $[-1, 1]$, l'equazione $\cos(x) = 2$ non ha soluzioni reali.

Risolviamo $\cos(x) = -\dfrac{1}{2}$ rispetto a $x$ nel dominio $[0, 2\pi]$:

$$ x = \dfrac{2\pi}{3}, \ \dfrac{4\pi}{3} $$

Dimostra la seguente identità:

$$ \sin(3x) + \sin(x) = 2\sin(2x)\cos(x) $$

---

Soluzione:

Possiamo dimostrarlo partendo dal membro sinistro e applicando l'identità di somma a prodotto:

$$ \sin(A) + \sin(B) = 2\sin\left(\dfrac{A+B}{2}\right)\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right) $$

Siano $A = 3x$ e $B = x$. Sostituisci questi nella formula:

$$ \sin(3x) + \sin(x) = 2\sin\left(\dfrac{3x+x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{3x-x}{2}\right) $$

Semplifica le frazioni all'interno delle funzioni trigonometriche:

$$ = 2\sin\left(\dfrac{4x}{2}\right)\cos\left(\dfrac{2x}{2}\right) $$

$$ = 2\sin(2x)\cos(x) $$

L'identità è dimostrata.