Risoluzione di equazioni: Domande e soluzioni passo dopo passo - Classe 9

Questa pagina è progettata per aiutare gli studenti a padroneggiare la risoluzione di equazioni lineari con un approccio dettagliato e passo dopo passo. Un'equazione è un'affermazione matematica che assicura che due espressioni sono uguali, separate da un segno di uguale (\(=\)).

Che cos'è una soluzione?
La soluzione di un'equazione è il valore specifico della variabile sconosciuta (come \(x\)) che rende l'equazione un'affermazione vera.

Esempio: \(x = 2\) è una soluzione di \(2x + 2 = x + 4\)?
Valuta il lato sinistro: \( 2(2) + 2 = 6 \)
Valuta il lato destro: \( 2 + 4 = 6 \)
Poiché entrambi i lati sono uguali, \(x = 2\) è una soluzione.

Importanti proprietà dell'uguaglianza

Per risolvere un'equazione, l'obiettivo è isolare la variabile sconosciuta su un lato. Facciamo questo usando le proprietà dell'uguaglianza:

Proprietà di addizione / sottrazione Se aggiungi o sottrai la stessa quantità su entrambi i lati di un'equazione, l'equazione rimane bilanciata e ha la stessa soluzione.
Proprietà di moltiplicazione / divisione Se moltiplichi o dividi entrambi i lati di un'equazione per la stessa quantità non nulla, l'equazione rimane bilanciata e ha la stessa soluzione.

Esempi guidati

Rispetta questi esempi guidati per vedere come vengono applicate le proprietà per isolare le variabili, gestire le parentesi e semplificare le frazioni.

  1. Equazione semplice: Risolvi l'equazione \( 2x + 1 = -5 \) e verifica la soluzione ottenuta.

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    L'idea principale è isolare \( x \) su un lato dell'equazione. Sottrai \( 1 \) da entrambi i lati:

    \[ \begin{aligned} 2x + 1 - 1 &= -5 - 1 \\ 2x &= -6 \end{aligned} \]

    Dividi entrambi i lati per 2:

    \[ \begin{aligned} \dfrac{2x}{2} &= \dfrac{-6}{2} \\ x &= -3 \end{aligned} \]
    Verifica la soluzione:
    Lato sinistro (LHS): \( 2(-3) + 1 = -6 + 1 = -5 \)
    Lato destro (RHS): \( -5 \)
    Poiché LHS = RHS, \( x = -3 \) è corretto.

  2. Variabili su entrambi i lati: Risolvi l'equazione \( x - 2 - 3x = -7 - x \) e verifica la soluzione.

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    Innanzitutto, raggruppa i termini simili sul lato sinistro (\( x \) e \( -3x \)):

    \[ -2x - 2 = -7 - x \]

    Aggiungi \( 2 \) a entrambi i lati per spostare i termini costanti a destra:

    \[ -2x = -x - 5 \]

    Aggiungi \( x \) a entrambi i lati per spostare i termini con la variabile a sinistra:

    \[ \begin{aligned} -2x + x &= -5 \\ -x &= -5 \end{aligned} \]

    Moltiplica o dividi entrambi i lati per \( -1 \):

    \[ x = 5 \]
    Verifica la soluzione:
    LHS: \( 5 - 2 - 3(5) = 5 - 2 - 15 = -12 \)
    RHS: \( -7 - (5) = -12 \)
    Poiché LHS = RHS, \( x = 5 \) è corretto.

  3. Equazioni con parentesi: Risolvi l'equazione \( -2(x - 2) + 3 = 3(-x + 4) - 3 \).

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    Usa la legge distributiva, \( a(b+c) = ab + ac \), per rimuovere le parentesi su entrambi i lati:

    \[ -2x + 4 + 3 = -3x + 12 - 3 \]

    Raggruppa i termini simili su ciascun lato:

    \[ -2x + 7 = -3x + 9 \]

    Aggiungi \( 3x \) a entrambi i lati e sottrai \( 7 \) da entrambi i lati per isolare \( x \):

    \[ \begin{aligned} -2x + 3x &= 9 - 7 \\ x &= 2 \end{aligned} \]
    Verifica la soluzione:
    LHS: \( -2(2 - 2) + 3 = -2(0) + 3 = 3 \)
    RHS: \( 3(-2 + 4) - 3 = 3(2) - 3 = 6 - 3 = 3 \)
    Poiché LHS = RHS, \( x = 2 \) è corretto.

  4. Equazioni con frazioni: Risolvi l'equazione \( \dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \).

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    Per eliminare le frazioni, moltiplica entrambi i lati per il minimo comune multiplo (mcm) dei denominatori 3 e 2, che è 6.

    \[ 6 \left( \dfrac{x}{3} - \dfrac{1}{2} \right) = 6 \left( \dfrac{1}{3} \right) \]

    Distribuisci il 6 a ciascun termine:

    \[ \begin{aligned} \dfrac{6x}{3} - \dfrac{6}{2} &= \dfrac{6}{3} \\ 2x - 3 &= 2 \end{aligned} \]

    Aggiungi 3 a entrambi i lati, quindi dividi per 2:

    \[ \begin{aligned} 2x &= 5 \\ x &= \dfrac{5}{2} \end{aligned} \]
    Verifica la soluzione:
    LHS: \( \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{5}{2}\right) - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \)
    Poiché LHS = RHS, \( x = \dfrac{5}{2} \) è corretto.

Domande di pratica

Risolvi le seguenti equazioni e verifica la risposta controllando la soluzione.

  1. \( 2x + 2 = 6 \)

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    Sottrai 2 da entrambi i lati:

    \[ \begin{aligned} 2x + 2 - 2 &= 6 - 2 \\ 2x &= 4 \end{aligned} \]

    Dividi entrambi i lati per 2:

    \[ \begin{aligned} \dfrac{2x}{2} &= \dfrac{4}{2} \\ x &= 2 \end{aligned} \]
    Verifica: LHS: \( 2(2) + 2 = 4 + 2 = 6 \). Entrambi i lati sono uguali.

  2. \( 5y - 2 = 7y - 8 \)

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    Sottrai \( 5y \) da entrambi i lati:

    \[ \begin{aligned} 5y - 2 - 5y &= 7y - 8 - 5y \\ -2 &= 2y - 8 \end{aligned} \]

    Aggiungi 8 a entrambi i lati:

    \[ \begin{aligned} -2 + 8 &= 2y \\ 6 &= 2y \end{aligned} \]

    Dividi per 2:

    \[ y = 3 \]
    Verifica: LHS: \( 5(3) - 2 = 13 \). RHS: \( 7(3) - 8 = 13 \). Entrambi i lati sono uguali.

  3. \( -2x + 4 + 5x = 7 + 4x - 3 \)

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    Raggruppa i termini simili su ciascun lato:

    \[ 3x + 4 = 4x + 4 \]

    Sottrai \( 3x \) e 4 da entrambi i lati:

    \[ \begin{aligned} 4 - 4 &= 4x - 3x \\ 0 &= x \end{aligned} \]
    Verifica: LHS: \( -2(0) + 4 + 5(0) = 4 \). RHS: \( 7 + 4(0) - 3 = 4 \). Entrambi i lati sono uguali.

  4. \( 0.2d + 4 = -0.1d - 2 \)

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    Aggiungi \( 0.1d \) a entrambi i lati e sottrai 4 da entrambi i lati:

    \[ \begin{aligned} 0.2d + 0.1d &= -2 - 4 \\ 0.3d &= -6 \end{aligned} \]

    Dividi entrambi i lati per 0.3:

    \[ \begin{aligned} d &= \dfrac{-6}{0.3} \\ d &= -20 \end{aligned} \]
    Verifica: LHS: \( 0.2(-20) + 4 = -4 + 4 = 0 \). RHS: \( -0.1(-20) - 2 = 2 - 2 = 0 \). Entrambi i lati sono uguali.

  5. \( -2(2x - 6) = -(x - 4) \)

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    Sviluppa entrambi i lati usando la legge distributiva:

    \[ -4x + 12 = -x + 4 \]

    Aggiungi \( 4x \) a entrambi i lati e sottrai 4:

    \[ \begin{aligned} 12 - 4 &= -x + 4x \\ 8 &= 3x \end{aligned} \]

    Dividi per 3:

    \[ x = \dfrac{8}{3} \]
    Verifica: LHS: \( -2\left(2\left(\frac{8}{3}\right) - 6\right) = -2\left(\frac{16}{3} - \frac{18}{3}\right) = -2\left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3} \).
    RHS: \( -\left(\frac{8}{3} - 4\right) = -\left(\frac{8}{3} - \frac{12}{3}\right) = -\left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} \). Entrambi i lati sono uguali.

  6. \( -(x + 2) + 4 = 2(x + 3) + x \)

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    Sviluppa e raggruppa i termini simili:

    \[ \begin{aligned} -x - 2 + 4 &= 2x + 6 + x \\ -x + 2 &= 3x + 6 \end{aligned} \]

    Aggiungi \( x \) e sottrai 6 da entrambi i lati:

    \[ \begin{aligned} 2 - 6 &= 3x + x \\ -4 &= 4x \\ -1 &= x \end{aligned} \]
    Verifica: LHS: \( -(-1 + 2) + 4 = -1 + 4 = 3 \). RHS: \( 2(-1 + 3) + (-1) = 2(2) - 1 = 3 \). Entrambi i lati sono uguali.

  7. \( \dfrac{x}{5} = -6 \)

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    Moltiplica entrambi i lati per 5 per isolare \( x \):

    \[ \begin{aligned} 5 \left(\dfrac{x}{5}\right) &= 5(-6) \\ x &= -30 \end{aligned} \]
    Verifica: LHS: \( \dfrac{-30}{5} = -6 \). Entrambi i lati sono uguali.

  8. \( -\dfrac{x}{3} = \dfrac{1}{2} \)

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    Moltiplica entrambi i lati per -3 per eliminare la frazione e il segno meno:

    \[ \begin{aligned} (-3) \left(-\dfrac{x}{3}\right) &= (-3) \left(\dfrac{1}{2}\right) \\ x &= -\dfrac{3}{2} \end{aligned} \]
    Verifica: LHS: \( -\dfrac{(-3/2)}{3} = \dfrac{3/2}{3} = \dfrac{1}{2} \). Entrambi i lati sono uguali.

  9. \( -\dfrac{x}{4} = \dfrac{1}{2} - x \)

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    Moltiplica l'intera equazione per 4 per eliminare le frazioni:

    \[ \begin{aligned} 4 \left(-\dfrac{x}{4}\right) &= 4 \left(\dfrac{1}{2} - x\right) \\ -x &= 2 - 4x \end{aligned} \]

    Aggiungi \( 4x \) a entrambi i lati:

    \[ \begin{aligned} 3x &= 2 \\ x &= \dfrac{2}{3} \end{aligned} \]
    Verifica: LHS: \( -\dfrac{2/3}{4} = -\dfrac{2}{12} = -\dfrac{1}{6} \).
    RHS: \( \dfrac{1}{2} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{6} - \dfrac{4}{6} = -\dfrac{1}{6} \). Entrambi i lati sono uguali.

  10. \( -\dfrac{x - 3}{7} = \dfrac{1}{2}(-2x + 6) \)

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    Moltiplica entrambi i lati per il mcm di 7 e 2 (che è 14) per eliminare le frazioni:

    \[ \begin{aligned} 14 \left( -\dfrac{x - 3}{7} \right) &= 14 \left( \dfrac{1}{2}(-2x + 6) \right) \\ -2(x - 3) &= 7(-2x + 6) \end{aligned} \]

    Sviluppa usando la legge distributiva:

    \[ -2x + 6 = -14x + 42 \]

    Aggiungi \( 14x \) e sottrai 6 da entrambi i lati:

    \[ \begin{aligned} 12x &= 36 \\ x &= 3 \end{aligned} \]
    Verifica: LHS: \( -\dfrac{3 - 3}{7} = 0 \). RHS: \( \dfrac{1}{2}(-2(3) + 6) = 0 \). Entrambi i lati sono uguali.

  11. \( -\dfrac{1}{2} - x + 5 = \dfrac{1}{5} + 2(x - 2) \)

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    Innanzitutto, elimina le frazioni moltiplicando ciascun termine per il mcm di 2 e 5 (che è 10):

    \[ 10 \left(-\dfrac{1}{2} - x + 5\right) = 10 \left(\dfrac{1}{5} + 2(x - 2)\right) \]

    Distribuisci il 10 con attenzione:

    \[ -5 - 10x + 50 = 2 + 20(x - 2) \]

    Raggruppa i termini costanti a sinistra e sviluppa le parentesi a destra:

    \[ \begin{aligned} -10x + 45 &= 2 + 20x - 40 \\ -10x + 45 &= 20x - 38 \end{aligned} \]

    Aggiungi \( 10x \) e aggiungi 38 a entrambi i lati:

    \[ \begin{aligned} 45 + 38 &= 20x + 10x \\ 83 &= 30x \\ x &= \dfrac{83}{30} \end{aligned} \]
    Verifica: LHS: \( -\dfrac{1}{2} - \dfrac{83}{30} + 5 = -\dfrac{15}{30} - \dfrac{83}{30} + \dfrac{150}{30} = \dfrac{52}{30} = \dfrac{26}{15} \).
    RHS: \( \dfrac{1}{5} + 2\left(\dfrac{83}{30} - \dfrac{60}{30}\right) = \dfrac{3}{15} + 2\left(\dfrac{23}{30}\right) = \dfrac{3}{15} + \dfrac{46}{30} = \dfrac{3}{15} + \dfrac{23}{15} = \dfrac{26}{15} \). Entrambi i lati sono uguali.

Link e riferimenti

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