In un esperimento binomiale, hai un numero \( n \) di prove indipendenti e ogni prova ha due possibili esiti o diversi esiti che possono essere ridotti a due esiti.
Le proprietà di un esperimento binomiale sono:
1) Il numero di prove \( n \) è costante.
2) Ogni prova ha solo 2 esiti (o riducibili a 2 esiti): "successo" o "fallimento", "vero" o "falso", "testa" o "coda", ...
3) La probabilità \( p \) di successo in ogni prova deve essere costante.
4) Gli esiti delle prove devono essere indipendenti tra loro.
Esempi di esperimenti binomiali
1) Lancia una moneta \( n = 10 \) volte e ottieni \( k = 6 \) testa (successo) e \( n - k \) croce (fallimento).
2) Tira un dado \( n = 5\) volte e ottieni \( 3 \) "6" (successo) e \( n - k \) "no 6" (fallimento).
3) Su \( n = 10 \) strumenti, dove ogni strumento ha una probabilità \( p \) di essere "in buone condizioni di funzionamento" (successo), selezionarne 6 a caso e ottenere 4 "in buone condizioni di funzionamento" e 2 "non funzionante" (guasto).
4) Un farmaco di nuova concezione ha probabilità \( p \) di essere efficace.
Seleziona \( n \) persone che hanno assunto il farmaco e ottieni \( k \) "trattamento riuscito" (successo) e \( n - k \) "trattamento non riuscito" (fallimento).
Spiegazioni delle formule binomiali
Il modo migliore per spiegare la formula per la distribuzione binomiale è risolvere il seguente esempio.
Esempio 1
Una moneta equilibrata viene lanciata 3 volte. Trova la probabilità di ottenere 2 teste e 1 croce.
Soluzione dell'esempio 1
Quando lanciamo una moneta possiamo ottenere una testa \( H \) o una croce \( T \).
Utilizziamo il diagramma ad albero che include i tre lanci per determinare lo spazio campione \( S \) dell'esperimento che è dato da:
\( S = \{ (H H H) , \color{red}{(H H T)} , \color{red}{(H T H)} , (H T T) , \color{red}{(T H H)} , (T H T) , (T T H) , (T T T) \} \)
L'evento \( E \) di ottenere 2 teste su 3 lanci è dato dal set
\( E = \{ \color{red}{(H H T)} , \color{red}{(H T H)} , \color{red}{(T H H)} \} \)
In una prova (o un lancio), la probabilità di ottenere una testa è
\( P(H) = p = 1/2 \)
e la probabilità di ottenere una coda è
\( P(T) = 1 - p = 1/2 \)
Gli esiti di ogni lancio sono indipendenti, quindi la probabilità \( P (H H T) \) è data dal prodotto:
\( P (H H T) = P(H) \cdot P(H) \cdot P(T) \\
= p \cdot p \cdot (1-p) \\
= p^2 (1-p)\)
In modo simile otteniamo
\( P (H T H) = p \cdot (1-p) \cdot p = p^2 (1-p) \)
\( P (TH H) = (1-p) \cdot p \cdot p = p^2 (1-p) \)
\( P( E ) = P ( \; (H H T) \; o \; (H T H) \; o \; (T H H) \;) \)
Usa la regola della somma sapendo che \( (H H T) , (H T H) \) e \( (T H H) \) si escludono a vicenda
\( P( E ) = P( (H H T) + P(H T H) + P(T H H) ) \)
Sostituire
\(P( E ) = p^2 (1-p) + p^2 (1-p) + p^2 (1-p) = 3 p^2 (1-p) \)
Tutti gli elementi nell'insieme \( E \) sono ugualmente probabili con probabilità \( p^2 (1-p) \) e il fattore \( 3 \) deriva dal numero di modi 2 teste \( (H) \) sono entro 3 prove e ciò è dato dalla formula per le combinazioni così scritta:
\(\displaystyle {3\choose 2} =3 \)
\( P(E) \) può essere scritto come
\( \displaystyle {P(E) = {3\choose 2} p^2 (1-p)^1 = {3\choose 2} p^2 (1-p)^1 = {3\choose 2} p^2 (1-p)^{3-2}} \)
Quindi, la formula generale per le probabilità binomiali è data da
\[ P(k \; \text{successi in n prove}) = {n\choose k} p^k (1-p)^{n-k} \]
dove \( n \) è il numero di prove, \( k \) il numero di successi e, \( p \) la probabilità di successo.
\( \displaystyle {n\choose k} \) è la combinazione di \( n \) elementi presi \( k \) al momento ed è data dai fattoriali come segue:
\[ {n\choose k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} \]
\( n! = 1 \times 2 \times 3 \times ..... \times (n - 1) \times n \) , viene letto come \(n \) fattoriale.
Media e deviazione standard di una distribuzione binomiale
Media: \( \mu = n \cdot p \) , Deviazione standard: \( \sigma = \sqrt{ n \cdot p \cdot (1-p)} \)
Esempi sull'uso della formula binomiale
Altri esempi e domande su come viene utilizzata la formula binomiale per risolvere domande di probabilità e risolvere problemi.
Esempio 2
Una moneta equilibrata viene lanciata 5 volte.
Qual è la probabilità che si ottengano esattamente 3 teste?
Soluzione dell'esempio 2
La moneta viene lanciata 5 volte, quindi il numero di tentativi è \( n = 5\).
Essendo la moneta giusta, l'esito di una testa in un lancio ha una probabilità \( p = 0,5 \) e un risultato di una croce in un lancio ha una probabilità \( 1 - p = 0,5 \)
La probabilità di avere 3 teste in 5 prove è data dalla formula per le probabilità binomiali sopra con \( n = 5 \), \( k = 3 \) e \( p = 0,5\)
Esempio 3
Un dado equilibrato viene lanciato 7 volte, trova la probabilità di ottenere "\( 6 \) punti" esattamente 5 volte.
Soluzione dell'esempio 3
Questo è un esempio in cui sebbene i risultati siano più di 2, ci interessa solo 2: "6" o "no 6".
Il dado viene lanciato 7 volte, quindi il numero di tentativi è \( n = 7\).
In una singola prova, il risultato di un "6" ha probabilità \( p = 1/6 \) e un risultato di "no 6" ha una probabilità \( 1 - p = 1 - 1/6 = 5/6 \)
La probabilità di avere 5 "6" in 7 prove è data dalla formula per le probabilità binomiali sopra con \( n = 7 \), \( k = 5 \) e \( p = 1/6\)
Esempio 4
Una fabbrica produce strumenti di cui il 98% funziona bene. Campioni di 1000 utensili vengono selezionati a caso e testati.
a) Trovare la media e darle un'interpretazione pratica.
b) Trovare la deviazione standard del numero di utensili in buono stato di funzionamento in questi campioni.
Soluzione dell'esempio 4
Quando viene selezionato uno strumento, è in buone condizioni di funzionamento con una probabilità di 0,98 o non funziona con una probabilità di 1 - 0,98 = 0,02.
Quando si seleziona a caso un campione di 1000 strumenti, 1000 può essere considerato come il numero di prove in un esperimento binomiale e quindi abbiamo a che fare con un problema di probabilità binomiale.
a) media: \( \mu = n p = 1000 \times 0,98 = 980 \)
In un campione di 1000 strumenti, ci aspetteremmo che 980 strumenti funzionino correttamente .
b) deviazione standard: \( \sigma = \sqrt{ n \times p \times (1-p)} = \sqrt{ 1000 \times 0,98 \times (1-0,98)} = 4,43\)
Esempio 5
Trova la probabilità che esca almeno 5 teste quando una moneta normale viene lanciata 7 volte.
Soluzione dell'esempio 5
Il numero di prove è \( n = 7\).
Essendo la moneta giusta, l'esito di una testa in un lancio ha una probabilità \( p = 0,5 \).
Ottenere almeno 5 teste; equivale a mostrare : 5, 6 o 7 teste e quindi la probabilità di mostrare almeno 5 teste è data da
\( P( \text{almeno 5}) = P(\text{5 o 6 o 7}) \)
Utilizzo della regola di addizione con i risultati mutuamente esclusivi, abbiamo
\( P( \text{almeno 5 teste}) = P(5) + P(6) + P(7) \)
dove \( P(5) \) , \( P(6) \) e \( P(7) \) sono dati dalla formula per le probabilità binomiali con lo stesso numero di prove \( n \), stessa probabilità \( p \) ma valori diversi di \( k \).
\( \displaystyle P( \text{almeno 5 teste} ) = {7\choose 5} (0,5)^5 (1-0,5)^{7-5} + {7\choose 6} (0,5)^6 (1-0,5)^{7-6} + {7\choose 7} (0,5)^7 (1-0,5)^{7-7} \\ = 0,16406 + 0,05469 + 0,00781 = 0,22656 \)
Esempio 6
Un test a scelta multipla ha 20 domande. Ogni domanda ha quattro possibili risposte con una risposta corretta per domanda. Qual è la probabilità che uno studente risponda correttamente a 10 o più domande (da superare) indovinando a caso?
NOTA: questa domanda è molto simile alla domanda 5 sopra, ma qui usiamo le probabilità binomiali in una situazione di vita reale che la maggior parte degli studenti conosce.
Soluzione dell'esempio 6
Ogni domanda ha 4 possibili risposte con una sola corretta. Se si risponde a una domanda indovinando a caso, la probabilità di rispondere correttamente è \( p = 1/4 = 0,25 \).
Quando una risposta viene selezionata in modo casuale, viene data una risposta corretta con una probabilità di 0,25 o errata con una probabilità di \( 1 - p = 0,75 \).
Questo può essere classificato come un esperimento di probabilità binomiale. La probabilità che uno studente risponda correttamente a 10 o più domande (su 20) indovinando a caso è data da
\( P(\text{rispondere correttamente ad almeno 10 domande}) = P(\text{10 o 11 o 12 o 13 o 14 o 15 o 16 o 17 o 18 o 19 o 20}) \)
Usando la regola dell'addizione, scriviamo
\( P(\text{rispondere correttamente ad almeno 10 domande}) = P(10) + P(11) + .... + P(20) \)
\( = 0,00992 + 0,00301 + 0,00075 + 0,00015 + 0,00003 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0,01386 \)
Nota
1) Le ultime cinque probabilità non sono esattamente uguali a 0 ma trascurabili rispetto ai primi 5 valori.
2) Secondo il concetto di probabilità, superare un test indovinando le risposte in modo casuale non funziona.
Esempio 7
Una scatola contiene 3 palline rosse, 4 palline bianche e 3 palline nere. 6 volte si sceglie una pallina a caso, si annota il colore e poi si ripone nella scatola.
Qual è la probabilità che il colore rosso si mostri almeno due volte?
Soluzione dell'esempio 7
L'evento "il colore rosso si vede almeno due volte" è il complemento dell'evento "il colore rosso si vede una volta o non si vede"; quindi usando la formula della probabilità del complemento, scriviamo
P("il colore rosso si vede almeno due volte") = 1 - P("il colore rosso si vede al massimo 1") = 1 - P("il colore rosso si vede una volta" o "il colore rosso non si vede")
Usando la regola dell'addizione
P("il colore rosso si vede almeno due volte") = 1 - P("il colore rosso si vede una volta") + P("il colore rosso non si vede")
Anche se ci sono più di due risultati (3 colori diversi) ci interessa solo il colore rosso.
Il numero totale di palline è 10 e ce ne sono 3 rosse, quindi ogni volta che viene selezionata una pallina, la probabilità di ottenere una pallina rossa è \( p = 3/10 = 0,3\) e quindi possiamo usare la formula per le probabilità binomiali trovare
P("il colore rosso si vede una volta") = \( \displaystyle{6\choose 1} \cdot 0.3^1 \cdot (1-0.3)^{6-1} = 0,30253 \)
P("il colore rosso non si vede") = \( \displaystyle{6\choose 0} \cdot 0,3^0 \cdot (1-0,3)^{6-0} = 0,11765 \)
P("il colore rosso mostra almeno due volte") = 1 - 0,11765 - 0,30253 = 0,57982
Esempio 8
L'80% delle persone in una città ha un'assicurazione sulla casa con la compagnia "MyInsurance".
a) Se vengono scelte a caso 10 persone di questa città, qual è la probabilità che almeno 8 di loro abbiano un'assicurazione sulla casa con "MyInsurance"?
b) Se vengono selezionate a caso 500 persone, quante dovrebbero avere un'assicurazione sulla casa con "MyInsurance"?
Soluzione dell'esempio 8
UN)
Se assumiamo di selezionare queste persone, una a caso, alla volta, la probabilità che una persona selezionata abbia un'assicurazione sulla casa con "MyInsurance" è 0,8.
Questo è un esperimento binomiale con \( n = 10 \) e p = 0,8.
"almeno 8 di loro hanno un'assicurazione sulla casa con "MyInsurance" significa che 8 o 9 o 10 hanno un'assicurazione sulla casa con "MyInsurance"
La probabilità che almeno 8 su 10 abbiano stipulato un'assicurazione casa con la "MyInsurance" è data da
\( P( \text{almeno 8}) = P( \text{8 o 9 o 10}) \)
Usa la regola dell'addizione
\( = P(8)+ P(9) + P(10) \)
Usa la formula della probabilità binomiale chiamando "avere un'assicurazione sulla casa con" MyInsurance "come" successo ".
\( = P(8 \; \text{successi in 10 prove}) + P(9 \; \text{successi in 10 prove}) + P(10 \; \text{successi in 10 prove}) \)
\( = 0,30199 + 0,26843 + 0,10737 = 0,67779 \)
B)
È un problema di distribuzione binomiale con il numero di prove \( n = 500 \).
Il numero di persone su 500 previste per avere un'assicurazione sulla casa con "MyInsurance" è dato dalla media della distribuzione binomiale con \( n = 500 \) e \( p = 0,8 \).
\( \mu = n p = 500 \cdot 0,8 = 400 \)
Si prevede che 400 persone su 500 selezionate a caso da quella città abbiano un'assicurazione sulla casa con "MyInsurance".
Domande e relative soluzioni
Domanda 1
Si lancia un dado 5 volte.
a) Calcolare la probabilità che si ottengano 3 numeri pari.
b) Calcolare la probabilità che si ottengano almeno 3 numeri pari.
c) Calcolare la probabilità che si ottengano al massimo 3 numeri pari.
Domanda 2
Una carta viene pescata a caso da un mazzo di 52 carte, annotato il suo colore e poi rimessa nel mazzo, 10 volte.
a) Trova la probabilità di ottenere almeno 3 cartellini rossi.
Domanda 3
Un test a scelta multipla ha 20 domande. Ogni domanda ha cinque possibili risposte con una risposta corretta per domanda. Qual è la probabilità che uno studente risponda correttamente a 15 o più domande (da superare) indovinando a caso?. Conclusione.
Domanda 4
Secondo un rapporto dell'OCDE (https://data.oecd.org/eduatt/population-with-tertiary-education.htm); per la fascia di età compresa tra i 25 ei 34 anni, il 61,8% in Canada e il 50,8% nel Regno Unito hanno un'istruzione terziaria.
Se 200 000 persone, di età compresa tra 25 e 34 anni, vengono selezionate a caso in Canada e 200 000 nella stessa fascia di età vengono selezionate a caso nel Regno Unito, quante dovrebbero avere un'istruzione terziaria in ciascuno di questi due paesi?
Soluzioni alle domande precedenti
Soluzione alla domanda 1
a)
Ci sono 3 numeri pari su 6 in un dado. Quindi se tu
tira un dado una volta, la probabilità di ottenere un numero pari è \( p = 3/6 = 1/2 \)
È un esperimento binomiale con \( n = 5 \) , \( k = 3 \) e \( p = 0.5 \)
\( P( \text{3 numeri pari in 5 prove} ) = \displaystyle{5\choose 3} 0.5^3 (1-0.5)^{5-3} = 0.3125 \)
b)
\( P (\text{almeno 3}) = P (3) + P(4) + P(5) = \displaystyle{5\choose 3} 0.5^3 (1-0.5)^{5-3} + {5\choose 4} 0,5^4 (1-0,5)^{5-4} + {5\choose 5} 0,5^5 (1-0,5)^{5-5} \)
\( = 0,3125 + 0,15625 + 0,03125 = 0,5 \)
c)
\( P (\text{al massimo 3}) = P (0) + P(1) + P(2) = \displaystyle {5\choose 0} 0.5^0 (1-0.5)^{5-0} + {5\choose 1} 0,5^1 (1-0,5)^{5-1} + {5\choose 2} 0,5^2 (1-0,5)^{5-2} \)
\( = 0,03125 + 0,15625 + 0,3125 = 0,5 \)
Nota
Gli eventi "si ottengono almeno 3 numeri pari" nella parte b) e "si ottengono al massimo 2 numeri pari" nella parte c) sono complementari e la somma delle loro probabilità è uguale a 1.
Soluzione alla domanda 2
Poiché la carta viene riposizionata, è un esperimento binomiale con il numero di prove \( n = 10 \)
Ci sono 26 carte rosse in un mazzo di 52. Quindi
la probabilità di ottenere un cartellino rosso in una prova è \( p = 26/52 = 1/2 \)
L'evento A = "ottenere almeno 3 cartellini rossi" è complementare all'evento B = "ottenere al massimo 2 cartellini rossi"; quindi
\( P(A) = 1 - P(B) \)
\( P(A) = P(3)+P(4) + P(5)+P(6) + P(7)+P(8) + P(9) + P(10) \)
\( P(B) = P(0) + P(1) + P(2) \)
Il calcolo di \( P(A)\) richiede molte più operazioni rispetto ai calcoli di \( P(B) \), quindi è più efficiente calcolare \( P(B) \) e utilizzare la formula per il complemento eventi: \( P(A) = 1 - P(B) \).
\( P(B) = \displaystyle {10\choose 0} 0,5^0 (1-0,5)^{10-0} + {10\choose 1} 0,5^1 (1-0,5)^{10-1} + {10\choose 2} 0,5^2 (1-0,5)^{10-2} \\ = 0,00098 + 0,00977 + 0,04395 = 0,0547 \)
Ogni domanda ha 5 possibili risposte con una corretta. Pertanto la probabilità di ottenere una risposta corretta in una prova è \( p = 1/5 = 0,2 \)
È un esperimento binomiale con \( n = 20 \) e \( p = 0,2 \).
\( P(\text{lo studente risponde 15 o più}) = P( \text{lo studente risponde 15 o 16 o 17 o 18 o 19 o 20}) \\ = P(15) + P(16) + P( 17) + P(18) + P(19) + P(20) \)
Usando la formula della probabilità binomiale
\( P(\text{lo studente risponde 15 o più}) = \displaystyle{20\choose 15} 0,2^{15} (1-0,2)^{20-15} + {20\choose 16} 0,2^{16 } (1-0,2)^{20-16} \\ \quad\quad\quad\quad\quad\quad + \displaystyle {20\choose 17} 0,2^{17} (1-0,2)^{20-17} + {20\choose 18} 0,2^{18} (1-0,2)^{20-18} \\ \quad\quad\quad\quad\quad + \displaystyle {20\choose 19} 0,2^{19} (1 - 0,2)^{20-19} + {20\choose 20} 0,2^{20} (1-0.2)^{20-20} \)
\( \quad\quad\quad\quad\quad \approx 0 \)
Conclusione: rispondere alle domande in modo casuale indovinando non dà alcuna possibilità di superare un test.
Soluzione alla domanda 4
In entrambi i casi, si tratta di un esperimento binomiale con
Canada: \( p = 0,618 \) e \( n = 200 000 \)
media : \( \mu = n p = 200 000 \cdot 0,618 = 123 600 \)
123600 su 200.000 dovrebbero avere un'istruzione terziaria in Canada.
Regno Unito: \( p = 0,508 \) e \( n = 200 000 \)
media : \( \mu = n p = 200 000 \cdot 0,508 = 101 600 \)
Si prevede che 101 600 su 200 000 abbiano un'istruzione terziaria nel Regno Unito.
