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il grafico di una funzione quadratica della forma
f (x) = ax 2 + bx + c
ha un vertice nel punto (h, k) dove h e k sono date da
h = -b / (2a)
e
k = c - b 2 / 4a
Inoltre, k = f (h).
Se a> 0, il vertice � un punto di minimo e il valore minimo della funzione quadratica f � uguale a k. Questo valore minimo si verifica in x = h = -b/2a.
Se a <0, il vertice � un punto di massimo e il valore massimo della funzione quadratica f � uguale a k. Questo valore massimo viene raggiunto in x = h = -b/2a.
Esempio - Problema 1: L'utile netto (in migliaia di dollari) di una societ� � dato da.
P (x) = 5000 + 1000x - 5x 2
dove x � la quantit� (in migliaia di dollari) la societ� spende in pubblicit�.
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Trova l'importo, x, che l'azienda ha da spendere per massimizzare il profitto.
- Trovare il massimo profitto Pmax.
Soluzione al problema 1:
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P Funzione che d� il profitto � una funzione quadratica con la testa di un coefficiente di -5 =. Questa funzione (senza scopo di lucro) ha un valore massimo in x = h = -b/2a
x = h = -1000 / 2 (-5) = 100
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Il massimo profitto Pmax, quando x = 100 migliaia viene speso per la pubblicit�, � dato dal valore massimo della funzione P
k = c - b 2 / 4a
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Il massimo profitto Pmax, quando x = 100 migliaia viene speso per la pubblicit�, � anche data da P (h = 100)
P (100) = 5000 + 1000 (100) - 5 (100) 2 = 55.000.
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Quando l'azienda spende 100 migliaia di dollari per la pubblicit�, il profitto � massimo e si attesta a 55.000 dollari.
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Mostrato di seguito � il grafico di P (x), notare il punto di massimo, vertice, a (100, 55000).
Esempio - Problema 2: Un oggetto viene lanciato verticalmente verso l'alto con una velocit� iniziale di piedi o V / sec. La sua distanza S (t), in piedi, in superficie � data da
S (t) =-16T 2 + v o t.
Trova V o in modo che il punto pi� alto l'oggetto pu� raggiungere � di 300 metri dal suolo.
Soluzione al problema 2:
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S (t) � una funzione quadratica e il valore massimo di S (t) � data da
k = c - b 2 / 4a = 0 - (V o)2 / 4 (-16)
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Questo valore massimo di S (t) deve essere di 300 metri in modo che l'obiettivo di raggiungere una distanza massima dal suolo di 300 metri.
- (V o)2 / 4 (-16) = 300
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ora risolvere - (V o)2 / 4 (-16) = 300 per o contro
V o = 64 * 300 = 80sqrt (3) piedi / sec.
Il grafico di S (t) o per v = 64 * 300 = 80sqrt (3) piedi / sec � mostrato sotto.
Pi� riferimenti e link sulle funzioni quadratiche in questo sito.
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