미적분학(미분법)에서 절댓값을 포함하는 함수의 도함수를 구하는 방법에 대한 튜토리얼입니다.
절댓값 함수의 도함수를 구하는 방법은? 동영상이 포함되어 있습니다.
절댓값 함수의 도함수
\( f(x) = |u(x)| \)라고 합시다. 이때 \( |u(x)| = \sqrt{u^2(x)} \)임에 유의하세요.
\( f = |u(x)| = \sqrt{u^2(x)} \)의 도함수를 구하기 위해 미분의 연쇄 법칙을 사용합니다:
\[ \dfrac{df}{dx} = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} \] \[ \dfrac{df}{du} = \dfrac{1}{2} \dfrac{2u}{\sqrt{u^2}} = \dfrac{u}{|u|} \]따라서:
풀이가 포함된 예제
풀이 예제: 단계별 풀이
예제 1
\( f(x) \)가 다음과 같을 때, 1계 도함수 \( f'(x) \)를 구하세요:
\[ f(x) = |x - 1| \]예제 1 풀이:
\( u = x - 1 \)이라 하면 \( f(x) \)는 \( f(x) = |u| = \sqrt{u^2} \)로 쓸 수 있습니다.
연쇄 법칙을 사용합니다:
\[ f'(x) = \dfrac{df}{du} \dfrac{du}{dx} = \left(\dfrac{1}{2} \dfrac{2u}{\sqrt{u^2}}\right) \dfrac{du}{dx} = u \cdot \dfrac{u'}{|u|} = \dfrac{x-1}{|x-1|} \]다음 사항에 유의하세요:
- \( x > 1 \)이면, \( |x - 1| = x - 1 \)이고 \( f'(x) = 1 \)입니다.
- \( x < 1 \)이면, \( |x - 1| = -(x - 1) \)이고 \( f'(x) = -1 \)입니다.
- \( x = 1 \)에서 \( f'(x) \)는 존재하지 않습니다.
\( f \)와 그 도함수 \( f' \)의 그래프를 보면 \( x = 1 \)에서 \( f \)의 그래프에 유일한 접선을 그리는 것이 불가능함을 보여주며, 이는 \( x = 1 \)에서 도함수가 존재하지 않는 이유를 설명합니다.
예제 2
다음으로 주어진 \( f \)의 1계 도함수를 구하세요:
\[ f(x) = -x + 2 + |-x + 2| \]예제 2 풀이:
\( f(x) \)는 두 함수의 합으로 이루어져 있습니다. \( u = -x + 2 \)라 하면 다음과 같습니다:
\[ f'(x) = -1 + u' \dfrac{u}{|u|} = -1 + \dfrac{-1(-x+2)}{|-x+2|} \]간소화합니다:
\[ f'(x) = -1 - \dfrac{-x+2}{|-x+2|} \]다음 사항에 유의하세요:
- \( x < 2 \)이면, \( |-x + 2| = -x + 2 \)이고 \( f'(x) = -2 \)입니다.
- \( x > 2 \)이면, \( |-x + 2| = -(-x + 2) \)이고 \( f'(x) = 0 \)입니다.
- \( x = 2 \)에서 \( f'(x) \)는 존재하지 않습니다.
연습 문제로, \( f \)의 그래프를 그려보고 위에서 얻은 \( f'(x) \)에 관한 결과를 설명해 보세요.
예제 3
다음으로 주어진 \( f \)의 1계 도함수를 구하세요:
\[ f(x) = \dfrac{x+1}{|x^2 - 1|} \]예제 3 풀이:
몫의 미분법과 절댓값 도함수 공식을 사용합니다:
\[ f'(x) = \dfrac{1 \cdot |x^2 - 1| - (x+1)(2x)\dfrac{x^2 - 1}{|x^2 - 1|}}{|x^2 - 1|^2} \]분수를 두 개의 항으로 나누고 왼쪽 분수를 간소화합니다:
\[ f'(x) = \dfrac{1}{|x^2-1|} - \dfrac{2x(x+1)(x^2-1)}{(x^2-1)^2|x^2-1|} \]오른쪽 분수를 간소화합니다:
\[ f'(x) = \dfrac{1}{|x^2-1|} - \dfrac{2x}{(x-1)|x^2-1|} \]두 분수의 분모를 통일합니다:
\[ f'(x) = \dfrac{x-1}{(x-1)|x^2-1|} - \dfrac{2x}{(x-1)|x^2-1|} \]두 분수를 더하고 간소화합니다:
\[ f'(x) = -\dfrac{x+1}{(x-1)|x^2-1|} \]연습 문제 및 정답
연습 문제 및 풀이
다음 함수의 1계 도함수를 구하세요:
힌트: 아래 문제 중 일부는 연쇄 법칙을 두 번 이상 적용해야 할 수도 있습니다.
- \( f(x) = |2x - 5| \)
- \( g(x) = (x - 2)^2 + |x - 2| \)
- \( h(x) = \left|\dfrac{x+1}{x-3}\right| \)
- \( i(x) = |-2x^2 + 2x - 1| \)
- \( j(x) = e^{|2x-1|} \)
- \( k(x) = |\ln(-3x+1)| \)
- \( l(x) = \sin |2x| \)
위 연습 문제 정답:
- \( f'(x) = 2 \dfrac{2x-5}{|2x-5|} \)
- \( g'(x) = 2(x - 2) + \dfrac{x-2}{|x-2|} \)
- \( h'(x) = -4 \left|\dfrac{x-3}{x+1}\right| \dfrac{x+1}{(x-3)^3} \)
- \( i'(x) = \dfrac{(-2x^2+2x-1)(-4x+2)}{|-2x^2+2x-1|} \)
- \( j'(x) = \dfrac{2e^{|2x-1|}(2x-1)}{|2x-1|} \)
- \( k'(x) = -\dfrac{3\ln(-3x+1)}{|\ln(-3x+1)|(-3x+1)} \)
- \( l'(x) = \dfrac{2x\cos(2|x|)}{|x|} \)