역함수의 도함수

위 질문에 답하기 위해 두 가지 방법을 제시합니다. 첫 번째 방법에서는 역함수를 계산한 후 그 도함수를 구합니다. 두 번째 방법에서는 위에서 유도한 공식을 사용합니다.

방법 1: 명시적 역함수

첫 번째 방법은 함수 \( f \)의 역함수를 찾아 미분하는 것으로 구성됩니다. \( f \)의 역함수를 찾기 위해 먼저 방정식을 다음과 같이 씁니다:

\[ y = \dfrac{x}{2} - 1 \]

\( x \)에 대해 풉니다:

\[ x = 2y + 2 \]

\( x \)와 \( y \)를 서로 바꾸어 역함수를 구합니다:

\[ y = f^{-1}(x) = 2x + 2 \]

역함수의 도함수는 다음과 같습니다:

\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{df^{-1}}{dx} = 2 \]

방법 2: 역함수 정리 공식 사용

\( f(x) = \dfrac{x}{2} - 1 \)이 주어졌으므로 다음과 같습니다:

\[ f'(x) = \dfrac{1}{2} \]

\( \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))} \) 공식에서 \( f' \)을 \( \dfrac{1}{2} \)로 대입합니다:

\[ \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \]

첫 번째 방법은 역함수를 명시적으로 구할 수 있는 경우에만 사용할 수 있음에 유의하세요.

\( \arcsin x \)는 \( \sin x \)의 역함수이므로 다음과 같습니다:

\[ \sin(\arcsin(x)) = x \qquad (I) \]

\( y = \arcsin x \)가 주어졌습니다. 양변의 사인을 취합니다:

\[ \sin y = \sin(\arcsin x) \]

(I)를 사용하여 간소화합니다:

\[ \sin y = x \]

좌변에 연쇄 법칙을 사용하여 양변을 \( x \)에 대해 미분합니다:

\[ \dfrac{dy}{dx} \cos y = 1 \]

\( \dfrac{dy}{dx} \)에 대해 풉니다:

\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos y} \]

\( y = \arcsin x \)로 치환합니다:

\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos(\arcsin x)} \qquad (II) \]

삼각함수 공식 \( \cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} \)를 사용하여 \( \cos(\arcsin x) \)를 간소화합니다:

\[ \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - \sin^2(\arcsin x)} \]

역함수의 성질 \( \sin(\arcsin x) = x \)를 사용하여 간소화합니다:

\[ \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2} \]

(II)에 다시 대입하여 최종 답을 얻습니다:

\[ \boxed{\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d(\arcsin x)}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}} \]

위의 결과는 공식 정리를 사용하여 얻을 수도 있지만, 여기서는 공식을 기억하지 않고도 역함수의 도함수를 구하는 방법을 보여주었습니다.