역삼각함수 도함수의 증명 및 공식
1. \( y = \arcsin(x) \)의 도함수
\( y = \arcsin(x) \)라 하자. 이는 \( x = \sin(y) \)로 쓸 수 있다.
\( x \)에 대하여 양변을 미분한다:
\[ \dfrac{dx}{dx} = \dfrac{d(\sin(y))}{dx} \implies 1 = \cos(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos y} \]삼각함수 항등식 \( \cos(y) = \sqrt{1 - \sin^2(y)} = \sqrt{1 - x^2} \)을 이용하면 다음을 얻는다:
\[ \mathbf{\dfrac{d(\arcsin(x))}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}} \]2. \( \arccos(x) \)의 도함수
\( y = \arccos(x) \)라 하자. 이는 \( x = \cos(y) \)로 쓸 수 있다.
\( x \)에 대하여 양변을 미분한다:
\[ 1 = -\sin(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{\sin(y)} \]\( \sin(y) = \sqrt{1 - \cos^2(y)} = \sqrt{1 - x^2} \)이므로 다음을 얻는다:
\[ \mathbf{\dfrac{d(\arccos(x))}{dx} = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}} \]3. \( \arctan(x) \)의 도함수
\( y = \arctan(x) \)라 하자. 이는 \( x = \tan(y) \)로 쓸 수 있다.
\( x \)에 대하여 양변을 미분한다:
\[ 1 = \sec^2(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sec^2(y)} = \cos^2(y) \]항등식 \( \cos^2(y) = \dfrac{1}{1 + \tan^2(y)} = \dfrac{1}{1 + x^2} \)을 이용하면 다음을 얻는다:
\[ \mathbf{\dfrac{d(\arctan(x))}{dx} = \dfrac{1}{1 + x^2}} \]4. \( \text{arccot}(x) \)의 도함수
\( y = \text{arccot}(x) \)라 하자. 이는 \( x = \cot(y) \)로 쓸 수 있다.
\( x \)에 대하여 양변을 미분한다:
\[ 1 = -\csc^2(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{\csc^2(y)} = -\sin^2(y) \]\( \sin^2(y) = \dfrac{1}{1 + \cot^2(y)} = \dfrac{1}{1 + x^2} \)이므로 다음을 얻는다:
\[ \mathbf{\dfrac{d(\text{arccot}(x))}{dx} = -\dfrac{1}{1 + x^2}} \]5. \( \text{arcsec}(x) \)의 도함수
\( y = \text{arcsec}(x) \)라 하자. 이는 \( x = \sec(y) \)로 쓸 수 있다.
\( x \)에 대하여 양변을 미분한다:
\[ 1 = \sec(y) \tan(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\sec(y) \tan(y)} \]\( \tan y = \sqrt{\sec^2 y - 1} = \sqrt{x^2 - 1} \)을 이용하면 다음을 얻는다:
\[ \mathbf{\dfrac{d(\text{arcsec}(x))}{dx} = \dfrac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}}} \]6. \( \text{arccsc}(x) \)의 도함수
\( y = \text{arccsc}(x) \)라 하자. 이는 \( x = \csc(y) \)로 쓸 수 있다.
\( x \)에 대하여 양변을 미분한다:
\[ 1 = -\csc(y) \cot(y) \dfrac{dy}{dx} \implies \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{\csc(y) \cot(y)} \]\( \cot y = \sqrt{\csc^2 y - 1} = \sqrt{x^2 - 1} \)을 이용하면 다음을 얻는다:
\[ \mathbf{\dfrac{d(\text{arccsc}(x))}{dx} = -\dfrac{1}{x \sqrt{x^2 - 1}}} \]풀이 예제
예제 1
다음 함수의 1계 도함수를 구하세요:
\[ f(x) = x \arcsin x \]예제 1 풀이
\( h(x) = x \) 및 \( g(x) = \arcsin x \)라 하자. 함수 \( f \)는 함수 \( h \)와 \( g \)의 곱으로 볼 수 있다: \( f(x) = h(x)g(x) \).
곱의 미분법인 \( f'(x) = h(x)g'(x) + g(x)h'(x) \)를 적용한다:
\[ f'(x) = x \left(\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right) + \arcsin x \cdot 1 \] \[ = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + \arcsin x \]예제 2
다음 함수의 1계 도함수를 구하세요:
\[ f(x) = \arctan x + x^2 \]예제 2 풀이
\( g(x) = \arctan x \) 및 \( h(x) = x^2 \)라 하자. 함수 \( f \)는 함수 \( g \)와 \( h \)의 합으로 볼 수 있다: \( f(x) = g(x) + h(x) \). 따라서 합의 미분법 \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \)를 사용한다:
\[ f'(x) = \dfrac{1}{1 + x^2} + 2x \] \[ = \dfrac{1 + 2x(1 + x^2)}{1 + x^2} = \dfrac{2x^3 + 2x + 1}{1 + x^2} \]예제 3
다음 함수의 1계 도함수를 구하세요:
\[ f(x) = \arcsin (2x + 2) \]예제 3 풀이
\( u(x) = 2x + 2 \)라 하면 함수 \( f \)는 합성함수 \( f(x) = \arcsin(u(x)) \)가 된다. 연쇄 법칙 \( f'(x) = \dfrac{du}{dx} \cdot \dfrac{d(\arcsin(u))}{du} \)을 사용한다:
\[ f'(x) = 2 \left(\dfrac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\right) \]\( u = 2x + 2 \)를 대입한다:
\[ = \dfrac{2}{\sqrt{1 - (2x + 2)^2}} \]