미적분학에서의 차분 몫이란 무엇인가요?
정의부터 시작하여 상세한 설명과 함께 다양한 함수의 차분 몫을 계산하는 예제를 살펴봅니다.
결과를 확인하고 추가 연습을 생성하는 데 사용할 수 있는 차분 몫 계산기가 포함되어 있습니다.
차분 몫의 정의
그래프가 아래와 같은 함수 \( f \)가 있다고 합시다.
\( A \)와 \( B \)는 함수 \( f \)의 그래프 위의 점입니다. 두 점 \( A(x, f(x)) \)와 \( B(x+h, f(x+h)) \)를 지나는 직선을 할선(secant line)이라고 합니다. 할선의 기울기 \( m \)은 다음과 같이 계산할 수 있습니다:
\[ m = \dfrac{f(x + h) - f(x)}{(x + h) - x} \]분모를 간소화하여 다음을 얻습니다:
기울기 \( m \)을 차분 몫이라고 부릅니다. 이는 미적분학에서 함수 \( f \)의 도함수를 정의하는 데 사용되는 매우 중요한 개념이며, 도함수는 다시 수학에서 함수의 국소적 변화율을 정의하는 데 사용됩니다.
풀이 예제
아래 예제에서는 다양한 함수의 차분 몫을 계산하고 간소화합니다.
예제 1
다음으로 정의된 함수 \( f \)의 차분 몫을 구하세요:
\[ f(x) = 2x + 5 \]예제 1 풀이
먼저 \( f(x + h) \)를 계산해야 합니다:
\[ f(x + h) = 2(x + h) + 5 \]이제 차분 몫의 정의에 \( f(x + h) \)와 \( f(x) \)를 대입합니다:
\[ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2(x + h) + 5 - (2x + 5)}{h} \]위의 식을 간소화합니다:
\[ = \dfrac{2h}{h} = 2 \]정답은 2이며, 이는 함수 \( f \)에 의해 정의된 직선의 기울기이기도 합니다. 그 이유는 무엇일까요? 일차함수는 그 기울기와 같은 일정한 변화율을 가지기 때문입니다!
예제 2
다음 함수의 차분 몫을 구하세요:
\[ f(x) = 2x^2 + x - 2 \]예제 2 풀이
먼저 \( f(x + h) \)를 계산합니다:
\[ f(x + h) = 2(x + h)^2 + (x + h) - 2 \]이제 차분 몫에 \( f(x + h) \)와 \( f(x) \)를 대입합니다:
\[ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2(x + h)^2 + (x + h) - 2 - (2x^2 + x - 2)}{h} \]분자의 식을 전개하고 동류항을 묶습니다:
\[ = \dfrac{2(x^2 + 2xh + h^2) + x + h - 2 - 2x^2 - x + 2}{h} \] \[ = \dfrac{2x^2 + 4xh + 2h^2 + x + h - 2 - 2x^2 - x + 2}{h} \] \[ = \dfrac{4xh + 2h^2 + h}{h} = 4x + 2h + 1 \]예제 3
다음으로 주어진 함수 \( f \)의 차분 몫을 구하세요:
\[ f(x) = \sin x \]그리고 결과를 곱의 형태로 나타내세요.
예제 3 풀이
먼저 \( f(x + h) \)를 계산합니다:
\[ f(x + h) = \sin(x + h) \]이제 차분 몫에 \( f(x + h) \)와 \( f(x) \)를 대입합니다:
\[ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{\sin(x + h) - \sin x}{h} \]차 \( \sin(x + h) - \sin x \)를 곱으로 변환하는 삼각함수 공식을 사용합니다:
\[ \sin(x + h) - \sin x = 2 \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right) \]위의 식을 차분 몫에 대입하여 다음을 얻습니다:
\[ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2 \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h} = \dfrac{\cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \]