종합 미분 예제: 멱함수 법칙, 곱의 미분법, 몫의 미분법 및 연쇄 법칙
미분을 마스터하는 것은 함수의 구조에 따라 특정 규칙을 적용하는 것을 포함합니다. 아래에는 상세한 풀이가 포함된 멱함수 법칙, 곱의 미분법, 몫의 미분법, 연쇄 법칙을 다루는 예제들이 있습니다.
멱함수 법칙에 따르면 \( f(x) = x^n \)일 때 도함수는 \( f'(x) = nx^{n-1} \)입니다.
각 항에 멱함수 법칙을 개별적으로 적용합니다:
최종 풀이: \( f'(x) = 20x^4 - 6x + 7 \)
지수를 사용하여 함수를 다시 씁니다: \( f(x) = 3x^{-2} + 5x^{1/3} \)
멱함수 법칙을 적용합니다:
\[ f'(x) = 3(-2x^{-3}) + 5(\frac{1}{3}x^{-2/3}) \] \[ f'(x) = -\dfrac{6}{x^3} + \dfrac{5}{3\sqrt[3]{x^2}} \]\( f'(x) = U'V + UV' \) 사용:
\[ f'(x) = 2x(x^3 - 2x + 3) + (x^2 - 5)(3x^2 - 2) \]결과: \( 5x^4 - 21x^2 + 6x + 10 \)
\( f'(x) = \dfrac{U'V - UV'}{V^2} \) 사용:
\[ f'(x) = \dfrac{2x(5x - 3) - (x^2 + 1)5}{(5x - 3)^2} \]결과: \( \dfrac{5x^2 - 6x - 5}{(5x - 3)^2} \)
연쇄 법칙은 합성함수에 사용됩니다: \( [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \).
"내부" 함수를 \( u = 4x^3 - 2x \)라 합시다. 그러면 \( f(x) = u^6 \)입니다.
1. 외부 함수를 미분합니다: \( 6u^5 \)
2. 내부 함수를 미분합니다: \( u' = 12x^2 - 2 \)
3. 두 도함수를 곱합니다: \( 6(4x^3 - 2x)^5 \cdot (12x^2 - 2) \)
결과: \( 12(6x^2 - 1)(4x^3 - 2x)^5 \)
\( f(x) = (x^2 + 1)^{1/2} \)로 다시 씁니다.
\[ f'(x) = \dfrac{1}{2}(x^2 + 1)^{-1/2} \cdot (2x) \]2가 약분되어 다음과 같이 남습니다:
\[ f'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \]정답: \( f'(x) = 40x^3 - \pi \) (참고: \( e \)는 상수이므로 그 도함수는 0입니다).
정답: \( g'(x) = 3(2x+1)^2(2)(x-5)^2 + (2x+1)^3(2)(x-5) \)
간소화: \( 2(2x+1)^2(x-5)[3(x-5) + (2x+1)] = 2(2x+1)^2(x-5)(5x-14) \)
정답: \( h'(x) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2) \)