쌍곡선함수의 도함수에 대한 상세한 풀이가 포함된 공식과 예제들이 제시됩니다. 쌍곡선함수의 정의와 그래프에 대해서는 쌍곡선함수의 그래프를 참고하세요.
쌍곡선함수 및 그 도함수 표
| 함수 | 도함수 |
|---|---|
| \( f(x) = \sinh x \) | \( f'(x) = \cosh x \) |
| \( f(x) = \cosh x \) | \( f'(x) = \sinh x \) |
| \( f(x) = \tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x} \) | \( f'(x) = \operatorname{sech}^2 x \) |
| \( f(x) = \coth x = \dfrac{1}{\tanh x} = \dfrac{\cosh x}{\sinh x} \) | \( f'(x) = -\operatorname{csch}^2 x \) |
| \( f(x) = \operatorname{csch} x = \dfrac{1}{\sinh x} \) | \( f'(x) = -\operatorname{csch} x \coth x \) |
| \( f(x) = \operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x} \) | \( f'(x) = -\operatorname{sech} x \tanh x \) |
풀이 예제
예제 1
\( f(x) = \sinh(x^2) \)의 도함수를 구하세요.
예제 1 풀이
\( u = x^2 \) 및 \( y = \sinh u \)라 합니다. 연쇄 법칙을 사용하여 주어진 함수 \( f \)의 도함수를 구합니다:
\[ f'(x) = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \]\( \dfrac{dy}{du} = \cosh u \)(위의 공식 참고)이고 \( \dfrac{du}{dx} = 2x \)이므로:
\[ f'(x) = 2x \cosh u \]\( u = x^2 \)를 다시 대입합니다:
\[ f'(x) = 2x \cosh(x^2) \]예제 2
\( f(x) = 2 \sinh x + 4 \cosh x \)의 도함수를 구하세요.
예제 2 풀이
\( g(x) = 2 \sinh x \) 및 \( h(x) = 4 \cosh x \)라 합니다. 함수 \( f \)는 함수 \( g \)와 \( h \)의 합입니다: \( f(x) = g(x) + h(x) \). 합의 미분법 \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \)를 사용합니다:
\[ f'(x) = 2 \cosh x + 4 \sinh x \]예제 3
\( f(x) = \dfrac{\cosh x}{\sinh(x^2)} \)의 도함수를 구하세요.
예제 3 풀이
\( g(x) = \cosh x \) 및 \( h(x) = \sinh(x^2) \)라 합니다. 함수 \( f \)는 함수 \( g \)와 \( h \)의 몫입니다: \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). 따라서 몫의 미분법을 사용합니다:
\[ f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \]각각의 도함수를 구합니다:
\[ g'(x) = \sinh x \] \[ h'(x) = 2x \cosh(x^2) \quad \text{(위의 예제 1 참고)} \]몫의 미분법 공식에 대입합니다:
\[ f'(x) = \dfrac{(\sinh(x^2))(\sinh x) - (\cosh x)(2x \cosh(x^2))}{(\sinh(x^2))^2} \]예제 4
\( f(x) = (\sinh x)^2 \)의 도함수를 구하세요.
예제 4 풀이
\( u = \sinh x \) 및 \( y = u^2 \)라 합니다. 연쇄 법칙을 사용합니다:
\[ f'(x) = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \]\( \dfrac{dy}{du} = 2u \)이고 \( \dfrac{du}{dx} = \cosh x \)이므로:
\[ f'(x) = 2u \cosh x \]\( u = \sinh x \)를 다시 대입합니다:
\[ f'(x) = 2 \sinh x \cosh x \]연습 문제
각 함수의 도함수를 구하세요:
- \( f(x) = \sinh(x^3) \)
- \( g(x) = -\sinh x + 4 \cosh(x + 2) \)
- \( h(x) = \dfrac{\cosh(x^2)}{\sinh x} \)
- \( j(x) = -(\cosh x)^2 \)
위 연습 문제 정답
- \( f'(x) = (3x^2) \cosh(x^3) \)
- \( g'(x) = -\cosh x + 4 \sinh(x + 2) \)
- \( h'(x) = \dfrac{(2x \sinh(x^2))(\sinh x) - (\cosh(x^2))(\cosh x)}{(\sinh x)^2} \)
- \( j'(x) = -2(\cosh x)(\sinh x) \)