미적분학에서의 로그함수 도함수 예제들이 제시됩니다. 로그함수의 곱, 합, 몫을 포함하는 상세한 풀이가 담긴 여러 예제들을 다룹니다.
임의의 밑을 가지는 로그함수의 1계 도함수
\( f(x) = \log_b x \)의 1계 도함수는 다음과 같습니다:
참고: \( f(x) = \ln x \)인 경우, \( f'(x) = \dfrac{1}{x} \)입니다.
풀이 예제
예제 1
\( f(x) = \log_3 x \)의 도함수를 구하세요.
예제 1 풀이
위의 공식을 적용하면 다음을 얻습니다:
\[ f'(x) = \dfrac{1}{x \ln 3} \]예제 2
\( f(x) = \ln x + 6x^2 \)의 도함수를 구하세요.
예제 2 풀이
\( g(x) = \ln x \) 및 \( h(x) = 6x^2 \)라 합니다. 함수 \( f \)는 함수 \( g \)와 \( h \)의 합입니다: \( f(x) = g(x) + h(x) \). 합의 미분법 \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \)를 사용하여 함수 \( f \)의 도함수를 구합니다:
\[ f'(x) = \dfrac{1}{x} + 12x \]예제 3
\( f(x) = \dfrac{\log_3 x}{1 - x} \)의 도함수를 구하세요.
예제 3 풀이
\( g(x) = \log_3 x \) 및 \( h(x) = 1 - x \)라 합니다. 함수 \( f \)는 함수 \( g \)와 \( h \)의 몫입니다: \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). 따라서 몫의 미분법을 사용합니다:
\[ f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \]각각의 도함수를 구합니다:
\[ g'(x) = \dfrac{1}{x \ln 3} \] \[ h'(x) = -1 \]몫의 미분법 공식에 대입합니다:
\[ f'(x) = \dfrac{(1 - x)\left(\dfrac{1}{x \ln 3}\right) - (\log_3 x)(-1)}{(1 - x)^2} \]예제 4
\( f(x) = \ln(-4x + 1) \)의 도함수를 구하세요.
예제 4 풀이
\( u = -4x + 1 \) 및 \( y = \ln u \)라 합니다. 연쇄 법칙을 사용하여 함수 \( f \)의 도함수를 구합니다:
\[ f'(x) = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \]\( \dfrac{dy}{du} = \dfrac{1}{u} \)이고 \( \dfrac{du}{dx} = -4 \)이므로:
\[ f'(x) = \dfrac{1}{u}(-4) = \dfrac{-4}{u} \]\( u = -4x + 1 \)을 다시 대입합니다:
\[ f'(x) = \dfrac{-4}{-4x + 1} \]연습 문제
각 함수의 도함수를 구하세요:
- \( f(x) = \ln(x^2) \)
- \( g(x) = \ln x - x^7 \)
- \( h(x) = \dfrac{\ln x}{2x - 3} \)
- \( j(x) = \ln(x + 3) \ln(x - 1) \)
위 연습 문제 정답
- \( f'(x) = \dfrac{2}{x} \)
- \( g'(x) = \dfrac{1}{x} - 7x^6 \)
- \( h'(x) = \dfrac{2x - 3 - 2x \ln x}{x(2x - 3)^2} \)
- \( j'(x) = \dfrac{\ln(x + 3)}{x - 1} + \dfrac{\ln(x - 1)}{x + 3} \)