미적분학에서의 미분 기본 규칙들이 여러 예제와 함께 제시됩니다.
1. 상수 함수의 도함수
\( c \)가 상수일 때, \( f(x) = c \)의 도함수는 다음과 같습니다:
예제 및 풀이
\( f(x) = -10 \)이 주어졌으므로:
\[ f'(x) = 0 \]2. 거듭제곱 함수의 도함수 (거듭제곱 법칙)
\( r \)이 상수 실수일 때, \( f(x) = x^r \)의 도함수는 다음과 같습니다:
예제 및 풀이
\( f(x) = x^{-2} \)가 주어졌으므로:
\[ f'(x) = -2x^{-2-1} = \dfrac{-2}{x^3} \]3. 상수가 곱해진 함수의 도함수
\( c \)가 상수일 때, \( f(x) = c \cdot g(x) \)의 도함수는 다음과 같습니다:
예제 및 풀이
\( f(x) = 3x^3 \)이 주어졌을 때, \( c = 3 \) 및 \( g(x) = x^3 \)이라 하면 \( f(x) = c \cdot g(x) \)가 됩니다:
\[ f'(x) = c \cdot g'(x) = 3(3x^2) = 9x^2 \]4. 함수의 합의 도함수 (합의 규칙)
\( f(x) = g(x) + h(x) \)의 도함수는 다음과 같습니다:
예제 및 풀이
\( f(x) = x^2 + 4 \)가 주어졌을 때, \( g(x) = x^2 \) 및 \( h(x) = 4 \)라 합니다:
\[ f'(x) = g'(x) + h'(x) = 2x + 0 = 2x \]5. 함수의 차의 도함수 (차의 규칙)
\( f(x) = g(x) - h(x) \)의 도함수는 다음과 같습니다:
예제 및 풀이
\( f(x) = x^3 - x^{-2} \)가 주어졌을 때, \( g(x) = x^3 \) 및 \( h(x) = x^{-2} \)라 합니다:
\[ f'(x) = g'(x) - h'(x) = 3x^2 - (-2x^{-3}) = 3x^2 + 2x^{-3} \]6. 두 함수의 곱의 도함수 (곱의 미분법)
\( f(x) = g(x) \cdot h(x) \)의 도함수는 다음과 같습니다:
예제 및 풀이
\( f(x) = (x^2 - 2x)(x - 2) \)가 주어졌을 때, \( g(x) = x^2 - 2x \) 및 \( h(x) = x - 2 \)라 합니다:
\[ f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x) = (x^2 - 2x)(1) + (x - 2)(2x - 2) \]전개하고 동류항을 정리합니다:
\[ f'(x) = x^2 - 2x + 2x^2 - 6x + 4 = 3x^2 - 8x + 4 \]7. 두 함수의 몫의 도함수 (몫의 미분법)
\( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \)의 도함수는 다음과 같습니다:
예제 및 풀이
\( f(x) = \dfrac{x - 2}{x + 1} \)이 주어졌을 때, \( g(x) = x - 2 \) 및 \( h(x) = x + 1 \)이라 합니다. 여기서 \( g'(x) = 1 \)이고 \( h'(x) = 1 \)입니다:
\[ f'(x) = \dfrac{(x + 1)(1) - (x - 2)(1)}{(x + 1)^2} \]정리하고 간소화합니다:
\[ f'(x) = \dfrac{x + 1 - x + 2}{(x + 1)^2} = \dfrac{3}{(x + 1)^2} \]