이 페이지에서는 미분을 사용하여 중요한 삼각함수 항등식인 \[ \arcsin(x) + \arccos(x) = \dfrac{\pi}{2} \] 를 정의역 \([-1, 1]\)의 모든 \( x \) 값에 대해 증명하는 방법을 보여줍니다.
방법 개요
이 항등식을 증명하기 위해 보조 함수를 정의합니다: \[ f(x) = \arcsin(x) + \arccos(x) \] 열 구간 \((-1, 1)\)의 모든 곳에서 일차 도함수가 0과 같음을 증명함으로써 \( f(x) \)가 그 정의역에 걸쳐 상수임을 보여줄 것입니다.
단계별 증명
1단계: 일차 도함수 구하기
역사인(arcsine)과 역코사인(arccosine)의 표준 도함수 공식을 상기하세요:
- \( \dfrac{d}{dx}[\arcsin(x)] = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
- \( \dfrac{d}{dx}[\arccos(x)] = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
\( f(x) \)를 항별로 미분하면 다음과 같습니다: \[ f'(x) = \dfrac{d}{dx}[\arcsin(x)] + \dfrac{d}{dx}[\arccos(x)] = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} - \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 0 \]
2단계: 함수가 상수임을 확립하기
모든 \( x \in (-1, 1) \)에 대해 \( f'(x) = 0 \)이므로, 평균값 정리(또는 상수 함수의 성질)에 따라 \( f(x) \)는 구간 전체에 걸쳐 어떤 상수 값 \( C \)여야 합니다. 연속성에 의해 이 상수성은 닫힌 양끝점 \([-1, 1]\)까지 확장됩니다.
3단계: 특정 지점에서 평가하기
이 상수 \( C \)의 정확한 값을 결정하기 위해, 정의역 내에서 쉽게 계산할 수 있는 지점에서 \( f(x) \)를 평가합니다. \( x = 0 \)을 선택해 봅시다: \[ f(0) = \arcsin(0) + \arccos(0) \] \( \arcsin(0) = 0 \)이고 \( \arccos(0) = \dfrac{\pi}{2} \)이므로: \[ f(0) = 0 + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} \]
최종 결과
\( f(x) \)는 정의역 전체에서 \( \dfrac{\pi}{2} \)와 같은 상수 함수이므로, 다음을 결론짓습니다: \[ \arcsin(x) + \arccos(x) = \dfrac{\pi}{2} \] 모든 \( x \in [-1, 1] \)에 대하여 성립합니다.