이차 함수의 오목성과 볼록성
함수의 오목성과 볼록성은 이차 도함수의 부호에 의해 결정됩니다. 다음과 같은 형태의 이차 함수의 경우:
\[ f(x) = a x^{2} + b x + c, \quad a \neq 0 \]일차 및 이차 도함수는 다음과 같습니다:
\[ f'(x) = 2 a x + b \] \[ f''(x) = 2 a \]\( f''(x) \)가 상수이고 오로지 \( a \)에만 의존하므로, 포물선의 오목성과 볼록성은 \( a \)의 부호에 의해 결정됩니다:
- \( a > 0 \)이면, \( f''(x) > 0 \)이고 그래프는 아래로 볼록(concave up)입니다.
- \( a < 0 \)이면, \( f''(x) < 0 \)이고 그래프는 위로 볼록(concave down)입니다.
풀이된 예제
아래는 상세한 풀이와 함께 이러한 경우들을 설명하는 예제입니다.
예제 1: 이차 함수의 오목성과 볼록성
다음 이차 함수의 오목성과 볼록성을 결정하세요:
\[ f(x) = (2 - x)(x - 3) + 3 \]예제 1의 풀이
먼저, \( f(x) \)를 전개하고 다시 씁니다:
\[ f(x) = -x^{2} + 5x - 3 \]최고차항 계수 \( a = -1 \)이 음수이므로, 그래프는 위로 볼록(concave down)입니다.
예제 2: 이차 함수의 오목성과 볼록성
다음 이차 함수의 오목성과 볼록성을 결정하세요:
\[ f(x) = -2(x - 1)(x - 2) + 3 x^{2} \]예제 2의 풀이
\( f(x) \)를 전개하고 정리합니다:
\[ f(x) = x^{2} + 6x - 4 \]최고차항 계수 \( a = 1 \)이 양수이므로, 그래프는 아래로 볼록(concave up)입니다.
연습 문제 및 정답
아래의 각 이차 함수의 오목성과 볼록성을 결정하세요:
- \( f(x) = (2 - x)(4 - x) \)
- \( f(x) = -2(x - 3)^{2} - 5 \)
- \( f(x) = x(x + 3) - 2(x - 3)^{2} \)
정답
- 아래로 볼록 (Concave up) (전개하면 \( x^2 - 6x + 8 \)이 되며, 여기서 \( a = 1 > 0 \)입니다)
- 위로 볼록 (Concave down) (전개하면 \( -2x^2 + 12x - 23 \)이 되며, 여기서 \( a = -2 < 0 \)입니다)
- 위로 볼록 (Concave down) (전개하면 \( -x^2 + 15x - 18 \)이 되며, 여기서 \( a = -1 < 0 \)입니다)