함수의 임계수(critical number)란 무엇인가요?

함수 f의 정의역 내의 어떤 수 a에 대해 f'(a) = 0이거나 f'(a)가 정의되지 않으면, a를 f의 임계수라고 합니다.

다항 함수의 임계수는 어떻게 구하나요?

다항 함수의 일차 도함수를 구하고, 이를 0으로 놓은 뒤 x에 대해 풉니다. 함수의 정의역 내에 속하는 모든 실수 해가 임계수입니다.

점 x = a가 원래 함수 f의 실제 정의역에 속할 때에만 임계수가 됩니다.

도함수를 사용하여 다항식, 절댓값, 유리식, 그리고 무리식을 포함한 다양한 유형의 함수의 임계수를 식별하는 방법을 배워보세요.

함수 \( f \)의 정의역 내의 어떤 수 \( a \)가 다음 중 하나를 만족할 때, \( f \)의 임계수(critical number)라고 합니다:

\[ f'(a) = 0 \quad \text{또는} \quad x = a \text{에서 } f' \text{가 정의되지 않음.} \]

예제 1: 다항 함수 \( f(x) = x^{3} - 3x + 5 \)

\( f \)의 정의역은 모든 실수입니다. 그 도함수는 다음과 같습니다:

\[ f'(x) = 3x^{2} - 3. \]

\( f' \)은 모든 곳에서 정의되므로, \( f'(x) = 0 \)을 풉니다:

\[ 3x^{2} - 3 = 0 \implies x^{2} = 1 \implies x = \pm 1. \]

\( x = 1 \)과 \( x = -1 \) 모두 정의역에 속하므로 임계수입니다.

Example 2: 절댓값 함수 \( f(x) = |x - 2| \)

정의역은 모든 실수입니다. \( u = x - 2 \)일 때 \( |u| = \sqrt{u^{2}} \)이므로, \( f \)를 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다:

\[ f(x) = \sqrt{(x - 2)^{2}}. \]

연쇄 법칙(chain rule)을 사용하면 도함수는 다음과 같습니다:

\[ f'(x) = \dfrac{(x - 2)}{|x - 2|}. \]

\( f' \)은 \( x = 2 \)에서 정의되지 않음에 유의하세요. \( 2 \)는 정의역에 속하므로 임계수입니다.

예제 3: 도함수 그래프 분석

아래에 도함수 \( f' \)의 그래프가 주어진 함수 \( f \)의 임계수를 구하세요.

임계수는 \( f'(x) = 0 \)인 \( x = 1, -2, -3 \)과, \( f' \)이 정의되지 않는 \( x = 0 \)입니다.

예제 4: 유리함수 \( f(x) = \dfrac{x^{2} + 7}{x + 3} \)

정의역은 \( x = -3 \)을 제외한 모든 실수입니다. 몫의 미분법을 사용하면 도함수는 다음과 같습니다:

\[ f'(x) = \dfrac{2x(x + 3) - (x^{2} + 7)(1)}{(x + 3)^2} = \dfrac{x^{2} + 6x - 7}{(x + 3)^2}. \]

분자를 0으로 놓습니다:

\[ x^{2} + 6x - 7 = 0 \implies (x + 7)(x - 1) = 0 \implies x = -7 \text{ 또는 } x = 1. \]

\( f' \)은 \( x = -3 \)에서 정의되지 않지만, \( -3 \)은 정의역에 속하지 않으므로 임계수가 아닙니다. 따라서 임계수는 \( x = -7 \)과 \( x = 1 \)입니다.

예제 5: 무리함수 \( f(x) = (x - 2)^{\dfrac{2}{3}} + 3 \)

정의역은 모든 실수입니다. 그 도함수는 다음과 같습니다:

\[ f'(x) = \dfrac{2}{3}(x - 2)^{-\dfrac{1}{3}} = \dfrac{2}{3(x - 2)^{\dfrac{1}{3}}}. \]

도함수는 정의역에 속하는 \( x = 2 \)에서 정의되지 않습니다. 따라서 \( x = 2 \)는 임계수입니다.

다음 함수의 임계수를 구하세요:

\( f(x) = 2x^{3} - 6x - 13 \)
\( f(x) = |x + 4| + 3 \)
\( f(x) = (x - 3)^{3} - 5 \)
\( f(x) = x^{\dfrac{1}{3}} + 2 \)
\( f(x) = \dfrac{x}{x + 4} \)