미분법은 증가 및 감소 구간, 국소 최댓값, 국소 최솟값과 같은 이차 함수의 핵심 성질을 분석하는 데 사용됩니다.
A - 일반형 이차 함수
일반형의 이차 함수는 다음과 같이 쓰입니다:
여기서 \(a\), \(b\), \(c\)는 실수이고 \(a \neq 0\)입니다.
\(f\)의 일차 도함수는 다음과 같습니다:
\[ f'(x) = 2 a x + b \]최댓값 또는 최솟값과 증가 및 감소 구간을 결정하기 위해 \(f'(x)\)의 부호를 분석합니다. 도함수가 양수가 되는 경우는 다음과 같습니다:
\[ 2 a x + b > 0 \quad \Rightarrow \quad 2 a x > -b \]\(a\)의 부호에 따라 두 가지 경우로 나눕니다:
부호 분석을 고려합니다:경우 1: \(a > 0\)
부등식의 양변을 \(2a > 0\)으로 나누면:
\[ x > -\dfrac{b}{2a} \]아래 표는 \(f'(x)\)의 부호와 \(f\)의 증가/감소 여부를 요약합니다:
따라서 이 이차 함수는 \(\left(-\dfrac{b}{2a}, f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)\)에서 최솟값을 갖고, \((-\infty, -\dfrac{b}{2a})\)에서 감소하며, \(\left(-\dfrac{b}{2a}, +\infty\right)\)에서 증가합니다.
경우 2: \(a < 0\)
양변을 \(2a < 0\)으로 나누면 부등호의 방향이 바뀝니다:
\[ x < -\dfrac{b}{2a} \]\(f'(x)\)의 부호는 다음 표를 사용하여 분석합니다:
이 경우, 이차 함수는 \(\left(-\dfrac{b}{2a}, f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)\)에서 최댓값을 갖고, \((-\infty, -\dfrac{b}{2a})\)에서 증가하며, \(\left(-\dfrac{b}{2a}, +\infty\right)\)에서 감소합니다.
B - 꼭짓점 형태 이차 함수
꼭짓점 형태의 이차 함수는 다음과 같이 쓰입니다:
여기서 \(a \neq 0\)이고, \(h, k\)는 실수입니다.
도함수는 다음과 같습니다:
\[ f'(x) = 2 a (x - h) \]다음 식을 고려하여 \(f'(x)\)의 부호를 분석합니다:
\[ a (x - h) > 0 \]경우 1: \(a > 0\)
양변을 \(a > 0\)으로 나눕니다:
\[ x > h \]부호를 분석하기 위해 다음 표를 사용합니다:
따라서 이차 함수는 \((h, k)\)에서 최솟값을 갖고, \((-\infty, h)\)에서 감소하며, \((h, +\infty)\)에서 증가합니다.
경우 2: \(a < 0\)
양변을 \(a < 0\)으로 나누면 부등호의 방향이 바뀝니다:
\[ x < h \]\(f'(x)\)의 부호는 다음을 사용하여 분석합니다:
여기서 이차 함수는 \((h, k)\)에서 최댓값을 갖고, \((-\infty, h)\)에서 증가하며, \((h, +\infty)\)에서 감소합니다.
풀이된 예제
예제 1: \( f(x) = 2x^2 - 8x + 1 \)의 극값 구하기
먼저 도함수를 구합니다:
\[ f'(x) = 4x - 8 \]도함수는 \(x = \dfrac{8}{4} = 2\)에서 부호가 바뀝니다. \(a = 2 > 0\)이므로, \(f\)는 \((2, f(2)) = (2, -7)\)에서 최솟값을 갖습니다.
함수의 성질:
- \((-\infty, 2)\)에서 감소
- \((2, +\infty)\)에서 증가
예제 2: \( f(x) = - (x + 3)^2 + 1 \)의 극값 구하기
도함수는 다음과 같습니다:
\[ f'(x) = -2(x + 3) \]도함수는 \(x = -3\)에서 부호가 바뀝니다. \(a = -1 < 0\)이므로, \(f\)는 \((-3, 1)\)에서 최댓값을 갖습니다.
함수의 성질:
- \((-\infty, -3)\)에서 증가
- \((-3, +\infty)\)에서 감소
이차 함수의 성질 연습 문제
아래의 각 이차 함수에 대해 극값(최솟값 또는 최댓값), 증가 구간, 그리고 감소 구간을 구하세요:
- \( f(x) = x^2 + 6x \)
- \( f(x) = -x^2 - 2x + 3 \)
- \( f(x) = x^2 - 5 \)
- \( f(x) = -(x - 4)^2 + 2 \)
- \( f(x) = -x^2 \)
연습 문제 정답
- a) \((-3, -9)\)에서 최솟값. \((-\infty, -3)\)에서 감소, \((-3, +\infty)\)에서 증가.
- b) \((-1, 4)\)에서 최댓값. \((-\infty, -1)\)에서 증가, \((-1, +\infty)\)에서 감소.
- c) \((0, -5)\)에서 최솟값. \((-\infty, 0)\)에서 감소, \((0, +\infty)\)에서 증가.
- d) \((4, 2)\)에서 최댓값. \((-\infty, 4)\)에서 증가, \((4, +\infty)\)에서 감소.
- e) \((0, 0)\)에서 최댓값. \((-\infty, 0)\)에서 증가, \((0, +\infty)\)에서 감소.