풀이가 포함된 미적분 실생활 최적화 문제

곱이 10이고 합이 가능한 한 작은 두 양수를 찾으세요. 그래프로 정답을 확인하세요.

풀이

첫 번째 수를 \( x \), 두 번째 수를 \( y \)라고 합시다 (단, \( x > 0 \), \( y > 0 \)). 최소화할 합을 \( S \)라고 합니다.

• 합: \( S = x + y \)   ← 이것이 최소화할 함수입니다
• 곱 조건: \( x \cdot y = 10 \)   ← 변수 간의 관계식

조건식으로부터 \( y \)를 구합니다: \( y = \dfrac{10}{x} \)

합 함수에 대입하여 한 변수의 함수로 나타냅니다: \[ S(x) = x + \dfrac{10}{x} = \dfrac{x^2 + 10}{x} \] 정의역: \( x > 0 \)

\( S(x) \)의 일차 도함수를 구합니다: \[ S'(x) = \dfrac{d}{dx}\left(x + \dfrac{10}{x}\right) = 1 - \dfrac{10}{x^2} \]

도함수를 0으로 놓아 임계점을 찾습니다: \[ 1 - \dfrac{10}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 10 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{10} \]

\( x \)는 양수여야 하므로 \( x = -\sqrt{10} \)은 버립니다. 따라서 \( x = \sqrt{10 \)은 임계점입니다.

오목성을 결정하기 위해 이차 도함수를 확인합니다: \[ S''(x) = \dfrac{20}{x^3} \] \( x > 0 \)이므로 \( S''(x) > 0 \)이고, 그래프는 아래로 볼록(concave up)입니다. 따라서 \( x = \sqrt{10} \)은 최솟값입니다.

두 수는 다음과 같습니다: \[ x = \sqrt{10} \approx 3.16, \quad y = \dfrac{10}{\sqrt{10}} = \sqrt{10} \approx 3.16 \]

\( S(x) = x + \dfrac{10}{x} \)의 그래프는 \( x \approx 3.16 \)에서 최솟값을 보여주어 결과를 뒷받침합니다.

첫 번째 수의 6배와 두 번째 수의 2배의 합이 150이고, 두 수의 곱이 가능한 한 큰 두 양수를 찾으세요.

풀이

첫 번째 수를 \( x \), 두 번째 수를 \( y \)라고 합니다. 극대화할 곱을 \( P \)라고 합니다.

목적 함수: \( P = x \cdot y \)

조건식: \( 6x + 2y = 150 \)

조건식에서 \( y \)를 구합니다: \( y = 75 - 3x \)

곱 함수에 대입: \( P(x) = x(75 - 3x) = 75x - 3x^2 \)

일차 도함수 구하기: \( P'(x) = 75 - 6x \)

도함수를 0으로 놓아 임계점 찾기: \( 75 - 6x = 0 \Rightarrow x = \dfrac{75}{6} = \dfrac{25}{2} \)

이차 도함수 계산: \( P''(x) = -6 \). \( P''(x) < 0 \)이므로 함수는 위로 볼록하며 최댓값을 갖습니다.

이제 \( y \)를 구합니다: \( y = 75 - 3 \cdot \dfrac{25}{2} = \dfrac{75}{2} \)

결론: 곱을 극대화하는 두 양수는 다음과 같습니다:

• \( x = \dfrac{25}{2} = 12.5 \)
• \( y = \dfrac{75}{2} = 37.5 \)

180미터의 울타리를 사용하여 한 변을 공유하며 크기가 같은 두 개의 직사각형 울타리를 만들려고 합니다. 전체 울타리 넓이가 최대가 되도록 직사각형의 치수를 구하세요.

풀이

각 직사각형의 길이를 \( L \), 너비를 \( W \)라고 합니다. 너비가 공유하는 변입니다.

전체 넓이: \( A = 2LW \)
울타리 조건식: \( 4L + 3W = 180 \).
\( W \)에 대해 풀기: \( W = 60 - \dfrac{4}{3}L \).
\( L \)에 대한 넓이 함수: \[ A(L) = 2L \left(60 - \dfrac{4}{3}L \right) = -\dfrac{8}{3}L^2 + 120L \] 조건식으로부터 정의역은 \( L \in [0, 45] \)입니다.
도함수: \( A'(L) = -\dfrac{16}{3}L + 120 \).
\( A'(L) = 0 \) 풀기 \(\implies L = 22.5 \).
평가:

• \( A(0) = 0 \)
• \( A(45) = 0 \)
• \( A(22.5) = -\dfrac{8}{3}(22.5)^2 + 120 \cdot 22.5 = 1350 \)

최대 넓이는 \( L = 22.5 \), \( W = 60 - \dfrac{4}{3} \cdot 22.5 = 30 \)일 때 발생합니다.

치수: \( 22.5 \) m 곱하기 \( 30 \) m.

길이가 100 cm인 철사가 두 조각으로 잘립니다. 한 조각은 정사각형을 만드는 데 쓰이고, 다른 한 조각은 원을 만드는 데 쓰입니다. 정사각형과 원이 둘러싸는 넓이의 합이 최소가 되도록 두 조각의 길이를 구하세요.

풀이

정사각형에 사용된 철사의 길이를 \( x \), 원에 사용된 길이를 \( y \)라고 합니다. 전체 철사: \( x + y = 100 \).

1단계: \( x \)를 이용하여 넓이 표현하기

정사각형의 경우: \( x = 4s \implies s = \dfrac{x}{4} \implies A_{\text{square}} = \dfrac{x^2}{16} \)
원의 경우: \( y = 2\pi r \implies r = \dfrac{y}{2\pi} \implies A_{\text{circle}} = \dfrac{y^2}{4\pi} \)
총 넓이: \( A(x) = \dfrac{x^2}{16} + \dfrac{(100 - x)^2}{4\pi} \)

2단계: 넓이 최소화하기

도함수: \( A'(x) = \dfrac{x}{8} - \dfrac{1}{2\pi}(100 - x) \)
도함수를 0으로 놓기: \[ \dfrac{x}{8} = \dfrac{1}{2\pi}(100 - x) \implies 2\pi x = 8(100 - x) \implies x = \dfrac{800}{2\pi + 8} = \dfrac{400}{\pi + 4} \] 근사값: \( x \approx 56 \) cm, \( y = 100 - x \approx 44 \) cm.

3단계: 최솟값 확인

\( A(0) \approx 795 \), \( A(100) = 625 \), \( A(56) \approx 350 \).

최종 정답

• 정사각형에 대략 56 cm를 사용합니다.
• 원에 대략 44 cm를 사용합니다.

한 변의 길이가 \( x \)인 정사각형 밑면과 길이 \( L \)을 가진 상자가 \( L + 4x = 4 \) 미터가 되도록 제작될 것입니다. 부피를 극대화하는 상자의 치수를 구하세요.

풀이

부피: \( V = x^2 L \)
조건식: \( L + 4x = 4 \implies L = 4 - 4x \)
대입: \( V(x) = x^2(4 - 4x) \) (정의역은 \( [0, 1] \)).
도함수: \( V'(x) = 8x - 12x^2 \)
임계점: \( 8x - 12x^2 = 0 \implies x(8 - 12x) = 0 \implies x = 0 \) 또는 \( x = \dfrac{2}{3} \).
평가: \( V(0) = 0 \), \( V\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{16}{27} \), \( V(1) = 0 \).

\( x = \dfrac{2}{3} \) 미터일 때 극대화됩니다.
\( L = 4 - 4 \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3} \) 미터.

최종 정답: 한 변이 \( \dfrac{2}{3} \) 미터인 정사각형 밑면과 길이 \( \dfrac{4}{3} \) 미터로, 최대 부피는 \( \dfrac{16}{27} \text{ m}^3 \)입니다.

전자 계산기의 총 원가는 $21입니다. 기계가 대당 \( x \)달러의 가격에 판매될 때, 판매되는 기계 수 \( n \)은 \( n(x) = \dfrac{200}{x - 21} + 10(50 - x) \)로 주어집니다.

풀이

이익 함수: \( P(x) = n(x - 21) = \left( \dfrac{200}{x - 21} + 10(50 - x) \right)(x - 21) \)
정리: 정의역 \( x \in (21, \infty) \)에 대해 \( P(x) = -10x^2 + 710x - 10300 \).
도함수: \( P'(x) = -20x + 710 \)
0으로 놓기: \( -20x + 710 = 0 \implies x = 35.5 \).
이차 도함수: \( P''(x) = -20 < 0 \) (위로 볼록, 최댓값).

최종 정답

이익을 극대화하는 판매 가격은 \( \boxed{x = 35.5 \text{ 달러}} \)입니다.

이하 \( y = \dfrac{1}{x^2 + 1} \) 아래에 내접하고 x축 위에 있는 넓이가 가장 큰 직사각형의 치수를 구하세요.

풀이

\( x \)를 밑변 길이의 절반이라고 합시다. 넓이: \( A(x) = 2x \cdot \dfrac{1}{x^2 + 1} = \dfrac{2x}{x^2 + 1} \).

도함수: \( A'(x) = \dfrac{2(1 - x^2)}{(x^2+1)^2} \)
0으로 놓기: \( 1 - x^2 = 0 \implies x = 1 \).
이차 도함수 판정법에 의해 \( x = 1 \)에서 최댓값 확인.

최종 정답

길이 = \( 2(1) = 2 \), 너비 = \( \dfrac{1}{1^2+1} = \dfrac{1}{2} \). 치수는 2단위 곱하기 0.5단위입니다.

높이가 4이고 빗변이 5인 직각삼각형에 내접하는 넓이가 가장 큰 직사각형의 치수를 구하세요.

풀이

삼각형의 밑변: \( BC = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3 \).

닮음비를 이용하면: \( \dfrac{4 - h}{w} = \dfrac{4}{3} \implies h = -\dfrac{4}{3} w + 4 \).
넓이: \( A(w) = w\left(-\dfrac{4}{3} w + 4\right) = -\dfrac{4}{3} w^2 + 4w \).
도함수: \( A'(w) = -\dfrac{8}{3} w + 4 = 0 \implies w = \dfrac{3}{2} = 1.5 \).
높이: \( h = -\dfrac{4}{3}(\dfrac{3}{2}) + 4 = 2 \).

최종 정답

치수: \( w = 1.5 \), \( h = 2 \).

\( 0 \leq x \leq 2\pi \)에 대해 \( f(x) = -5 - 4 \cos(x) + \cos(2x) \)가 결코 양수가 아님을 해석적으로 증명하세요.

풀이

도함수: \( f'(x) = 4 \sin(x) - 2 \sin(2x) = 4 \sin(x) (1 - \cos(x)) \).
\( [0, 2\pi] \) 내의 임계점: \( x = 0, \pi, 2\pi \).
평가: \( f(0) = -8 \), \( f(2\pi) = -8 \), \( f(\pi) = 0 \).

결론

\( [0, 2\pi] \)에서 \( f(x) \)의 최댓값이 \( 0 \)이므로, 이 함수는 결코 양수가 아닙니다.

모선이 5 cm인 원뿔의 부피를 극대화하는 반지름 \( r \)과 높이 \( h \)를 구하세요.

풀이

부피: \( V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h \)
조건식: \( h^2 + r^2 = 25 \implies h = \sqrt{25 - r^2} \)
부피 함수: \( V(r) = \dfrac{1}{3} \pi r^2 \sqrt{25 - r^2} \)
도함수: \( V'(r) = \dfrac{\pi}{3} \dfrac{50r - 3r^3}{\sqrt{25 - r^2}} \)
임계점: \( 50r - 3r^3 = 0 \implies r = \sqrt{\dfrac{50}{3}} \approx 4.08 \).
높이: \( h = \sqrt{25 - \dfrac{50}{3}} = \dfrac{5}{\sqrt{3}} \approx 2.88 \).

직선 \( y = 4 - x \) 위에서 점 \( (6, 3) \)과 가장 가까운 점을 구하세요.

풀이

직선 위의 점: \( M = (x, 4 - x) \).
거리의 제곱: \( D^2 = (x - 6)^2 + (1 - x)^2 = 2x^2 - 14x + 37 \).
도함수: \( 4x - 14 = 0 \implies x = \dfrac{7}{2} \).
\( y = 4 - \dfrac{7}{2} = \dfrac{1}{2} \).

최종 정답: \( \boxed{\left( \dfrac{7}{2}, \dfrac{1}{2} \right)} \).

해상 비용이 \( 3k \)이고 해안 비용이 \( k \)일 때, 총 파이프라인 비용을 최소화하는 해상 거리와 해안선을 따른 거리를 구하세요.

풀이

\( B \)에서 \( D \)까지 해안선을 따른 거리를 \( x \)라고 합니다. 해안선 길이 \( CD = 40 - x \), 해상 길이 \( y = \sqrt{30^2 + (40-x)^2} \).
총비용: \( C_t(x) = kx + 3ky = kx + 3k\sqrt{900 + (40-x)^2} \).
도함수와 임계점 풀이를 통해 해상 거리 \( x \approx 29.40 \) km, 해상 거리 \( y \approx 31.81 \) km를 얻습니다.

\( x + y = K \)일 때, \( x \cdot y \le \left(\dfrac{K}{2}\right)^2 \)임을 보이세요.

풀이

곱 함수: \( P(x) = x(K - x) = -x^2 + Kx \).
도함수: \( P'(x) = -2x + K = 0 \implies x = \dfrac{K}{2} \).
이차 도함수 \( P''(x) = -2 < 0 \)은 \( x = \dfrac{K}{2}, y = \dfrac{K}{2} \)에서 최댓값을 확인시켜 줍니다.
최대 곱: \( \left(\dfrac{K}{2}\right)^2 \).