단계별 뉴턴의 방법 계산기가 제공됩니다.
방정식 \( f(x) = 0 \)의 해를 근사하는 뉴턴의 방법은 다음과 같이 표현되는 수치적 반복 과정입니다.
\( x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)} {f '(x_n) }\) for \( n = 0,1,2,3,... \)
따라서 초기값 \( x_0 \)에서 시작하여 위 과정을 통해 \( x_1 \)을 구하고, 다시 \( x_1 \)을 사용하여 \( x_2 \)를 구하는 식으로 진행됩니다.
이 과정은 해가 수렴할 때까지 계속됩니다.
예제
풀고자 하는 방정식이 \( \quad x^3 = \ln(x) + 2 \quad \)라고 합시다.
이 방정식은 해석적으로 풀 수 없으므로 뉴턴의 방법을 사용하여 근사해를 찾을 수 있습니다.
첫 번째 단계는 우변을 0으로 만들어 다음과 같이 방정식을 쓰는 것입니다.
\( x^3 - \ln(x) - 2 = 0 \)
그리고 \( f(x) = x^3 - \ln(x) - 2 \)로 설정합니다.
이를 아래 계산기에 입력해야 합니다.
또한 구하려는 근사해에 가까운 초기값 \( x_0 \)과 필요한 반복 횟수를 선택할 수 있습니다.
참고사항:
1) \( \sin(x) + 1/x \)와 같이 해가 여러 개인 방정식의 경우, 지정하는 초기값 \( x_0 \)에 따라 결과가 달라집니다. 일반적으로 \( x_0 \)에 가장 가까운 근사해를 제공합니다.
2) 반복 과정 중 특정 시점에서 \( x_n \)이 \( f(x) \) 또는 \( f'(x) \)의 정의역을 벗어나거나 \( f'(x) = 0 \)이 되면 이 방법은 실패합니다. 이 경우 초기값 \( x_0 \)을 변경하여 해의 근사값을 얻을 수 있습니다.
3) 계산기에 사용할 더 나은 초기값 \( x_0 \)을 그래픽적으로 찾기 위해 \( f(x) \)의 그래프를 그려보는 것도 좋습니다.
1 - 함수 \( f(x) \)를 입력 및 편집한 후 "함수 입력"을 클릭하고 입력 내용을 확인합니다. 구하려는 해에 최대한 가까운 초기값 \( x_0 \)을 입력합니다.
2 - "계산"을 클릭합니다.
3 - 결과에는 도함수 \( f'(x) \)와 \( x_n \), \( f(x_n) \), \( f'(x_n) \)의 수치값이 포함됩니다.
참고사항:
1) 사용되는 다섯 가지 연산자는 + (더하기), - (빼기), / (나누기), ^ (거듭제곱), * (곱하기)입니다. (예: f(x) = x^3 - 1/x. 함수 편집에 대한 자세한 내용은 아래에 있습니다)
2) 자연로그 \( \ln(x) \)는 log(x)로, 자연지수 \( e^x \)는 exp(x)로 입력합니다.
3) 함수 \( f(x) \)의 거듭제곱 \(n\)은 \( (f(x))^n \)으로 입력합니다. 예: \( \sin^2(2x-1) \)은 (sin(2x-1))^2로 입력합니다.
4) 분수는 소수로 입력합니다. 예: 1/2는 0.5로 입력합니다.
주의사항: 함수를 편집할 때 다음 사항을 사용하세요:
1 - 사용되는 다섯 가지 연산자는 + (더하기), - (빼기), / (나누기), ^ (거듭제곱), * (곱하기)입니다. (예: f(x) = x^2-1/(2x)-log(x) )
2 - 제곱근 함수는 (sqrt)로 작성합니다. (예: \( \sqrt {x^2 - 1} \)은 sqrt(x^2-1))
3 - 지수 함수는 exp(x)로 작성합니다. (예: \( e^{x+2} \)는 exp(x+2))
4 - 밑이 e인 로그 함수는 log(x)로 작성합니다. (예: \( \ln(x^2 - 2) \)는 log(x^2-2))
복사하여 연습해 볼 수 있는 몇 가지 함수 예제입니다:
sqrt(x^3+1) - log(x) - 2 exp(x^2+1) + 2 x - 4 x^2+log(2*x + 2) (x+2)^2(x^2+1)-1