구간별 함수에 중점을 둔 함수의 미분가능성에 관한 질문들과 그에 대한 답변이 제시됩니다.
미분불가능성의 그래프적 의미
어떤 함수들이 미분불가능한가요?
그래프가 \( G \)인 함수 \( f \)를 생각해 봅시다. 정의에 따르면, 특정 \( x \) 값에서 함수 \( f \)의 도함숫값은 그래프 \( G \)에서의 접선의 기울기와 같습니다. 따라서 접선이 존재할 수 없거나, 접선이 존재하더라도 수직인 경우(수직선은 기울기가 정의되지 않으며, 따라서 도함수도 정의되지 않음)에는 어떤 \( x \) 값에 대해서도 \( f \)가 미분가능하지 않다고 할 수 있습니다.
다양한 이유로 \( x = 0 \)에서 미분가능하지 않은 함수의 그래프가 아래에 나와 있습니다:
예제 1: 뾰족한 모서리 (접선 없음)
아래의 함수 \( f \)는 \( x = 0 \)에서 그래프에 오직 하나뿐인 접선이 존재하지 않기 때문에 \( x = 0 \)에서 미분가능하지 않습니다 (\( x = 0 \)에서 접선을 그려보려고 시도해 보세요!).
예제 2: 첨점 / 뾰족한 점
아래의 함수 \( g \)는 \( x = 0 \)에서 그래프에 접선이 존재하지 않기 때문에 \( x = 0 \)에서 미분가능하지 않습니다.
예제 3: 도약 불연속점
아래의 함수 \( h \)는 함수의 값에 도약(jump)이 존재하고 \( x = 0 \)에서 연속이 아니기 때문에 \( x = 0 \)에서 미분가능하지 않습니다.
Example 4: 수직 점근선
아래의 함수 \( j \)는 \( x = 0 \)의 양쪽에서 한없이 증가하며(극한이 없음), 그 식으로부터 \( x = 0 \)에서 정의되지 않고 따라서 불연속이므로 \( x = 0 \)에서 미분가능하지 않습니다.
예제 5: 수직 접선
아래의 함수 \( k \)는 \( x = 0 \)에서의 접선이 수직이므로 그 기울기(\( x = 0 \)에서의 도함숫값)가 정의되지 않아 미분가능하지 않습니다.
정리
정리: 함수 \( f \)가 \( x = a \)에서 미분가능하면, \( x = a \)에서 연속입니다.
정리의 대우: 함수 \( f \)가 \( x = a \)에서 연속이 아니면, \( x = a \)에서 미분가능하지 않습니다.
흔히 범하는 실수: \( f \)가 \( x = a \)에서 연속이라고 해서 그것이 반드시 \( f \)가 \( x = a \)에서 미분가능하다는 것을 의미하지는 않습니다.
참고: (위의 그래프로 보여진) 함수 \( f \), \( g \), \( k \)는 모든 곳에서 연속이지만, \( x = 0 \)에서는 미분가능하지 않습니다.
풀이가 포함된 예제
미분불가능성에 대한 해석적 증명
예제 1: 구간별 함수의 미분불가능성
문제: 아래에 정의된 함수 \( f \)가 \( x = 0 \)에서 미분가능하지 않음을 해석적으로 보이세요:
\[ f(x) = \begin{cases} x^2 & x > 0 \\ -x & x < 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} \]풀이:
이 질문에 답하는 한 가지 방법은 차이 몫의 극한을 사용하여 \( x = 0 \)에서의 도함수를 계산하는 것입니다. 함수 \( f \)가 서로 다른 식으로 정의되어 있으므로, 좌극한과 우극한을 사용하여 도함수를 평가해야 합니다:
\[ f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]\( x = 0 \)의 왼쪽(\( x < 0 \))에서 도함수는 다음과 같이 계산됩니다:
\[ f'(0) = \lim_{h\to 0^{\mathbf{-}}} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^-} \frac{-h - 0}{h} = -1 \]\( x = 0 \)의 오른쪽(\( x > 0 \))에서 도함수는 다음과 같이 계산됩니다:
\[ f'(0) = \lim_{h\to 0^{\mathbf{+}}} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h\to 0^+} \frac{h^2 - 0}{h} = \lim_{h\to 0^+} h = 0 \]\( x = 0 \)에서의 좌극한과 우극한이 서로 같지 않으므로(\(-1 \neq 0\)), \( f'(0) \)은 정의되지 않습니다. 따라서 함수 \( f \)는 \( x = 0 \)에서 미분가능하지 않습니다.
함수 \( f \)의 그래프가 아래에 나와 있으며, \( x = 0 \)에서 오직 하나뿐인 접선을 그릴 수 없음이 명확합니다: