여기서는 단계별로 tan(x)의 도함수를 구하는 방법을 배웁니다. 삼각함수 항등식 \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \)와 \( \sin x \), \( \cos x \)의 잘 알려진 도함수를 사용하여 몫의 미분법을 적용하면 공식 \( \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x \)를 유도할 수 있습니다. 또한 연쇄 법칙을 사용하여 이 결과를 \( \tan(u(x)) \) 형태의 합성함수로 확장하고, 이해를 돕기 위해 여러 예제를 풀어봅니다.
tan(x)의 도함수 계산
\( \tan x \), \( \sin x \), \( \cos x \) 사이의 관계를 나타내는 삼각함수 항등식은 다음과 같습니다:
\[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \]\( \tan x \)의 도함수를 구하는 한 가지 방법은 몫의 미분법을 사용하는 것입니다. 따라서:
\[ \frac{d}{dx} \tan x = \frac{d}{dx} \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) = \frac{\left(\frac{d}{dx}\sin x\right)\cos x - \sin x \left(\frac{d}{dx}\cos x\right)}{\cos^2 x} \]\( \frac{d}{dx}\sin x = \cos x \) 및 \( \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x \)로 주어지는 삼각함수의 도함수 공식을 대입하면 다음을 얻습니다:
\[ \frac{d}{dx} \tan x = \frac{\cos x \cos x - \sin x (-\sin x)}{\cos^2 x} \]간단히 정리합니다:
\[ = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \]tan(x)와 그 도함수의 그래프
\( \tan(x) \)와 그 도함수의 그래프가 아래에 나와 있습니다:
-and-its-derivative.gif)
합성함수 tan(u(x))의 도함수
이제 다른 함수(\( u \))의 함수(탄젠트)인 합성함수가 생겼습니다. 미적분학의 연쇄 법칙을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[ \frac{d}{dx} \tan(u(x)) = \left(\frac{d}{du} \tan u\right) \left(\frac{d}{dx} u\right) \]정리합니다:
\[ = \sec^2 u \cdot \frac{du}{dx} \]풀이가 포함된 예제
예제 1: 합성 탄젠트 함수의 도함수 구하기
다음 함수의 도함수를 구하세요:
- \( f(x) = \tan(2x - 1) \)
- \( g(x) = \tan(\cos x) \)
- \( h(x) = \tan\left(\frac{x-1}{x+2}\right) \)
풀이:
- \( u(x) = 2x - 1 \)이라고 하면, \( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2x - 1) = 2 \)입니다. 공식을 적용합니다: \[ \frac{d}{dx} f(x) = \sec^2 u \cdot \frac{du}{dx} = \sec^2(2x - 1) \cdot 2 = 2\sec^2(2x - 1) \]
- \( u(x) = \cos x \)라고 하면, \( \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x \)입니다. 공식을 적용합니다: \[ \frac{d}{dx} g(x) = \sec^2 u \cdot \frac{du}{dx} = \sec^2(\cos x) \cdot (-\sin x) = -\sin x \sec^2(\cos x) \]
- \( u(x) = \frac{x-1}{x+2} \)라고 하면, (몫의 미분법을 사용하여) \( \frac{du}{dx} = \frac{3}{(x+2)^2 \)입니다. 공식을 적용합니다: \[ \frac{d}{dx} h(x) = \sec^2 u \cdot \frac{du}{dx} = \sec^2\left(\frac{x-1}{x+2}\right) \cdot \frac{3}{(x+2)^2} = \frac{3\sec^2\left(\frac{x-1}{x+2}\right)}{(x+2)^2} \]