\( \cot(x) \)의 도함수는 몫의 미분법과 \( \sin x \), \( \cos x \)의 도함수를 사용하여 계산할 수 있습니다. 또한 풀이된 예제와 함께 합성 코탄젠트 함수의 도함수도 제시됩니다.
cot(x)의 도함수 증명
다음 삼각함수 항등식을 사용합니다:
\[ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \]그리고 몫의 미분법을 적용합니다:
\[ \frac{d}{dx} \cot x = \frac{\left(\frac{d}{dx} \cos x\right) \cdot \sin x - \cos x \cdot \left(\frac{d}{dx} \sin x\right)}{\sin^2 x} \]\( \frac{d}{dx} \cos x = -\sin x \) 및 \( \frac{d}{dx} \sin x = \cos x \)를 대입합니다:
\[ \frac{d}{dx} \cot x = \frac{(-\sin x)(\sin x) - \cos x (\cos x)}{\sin^2 x} = -\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\csc^2 x \]
공식:
\[ \frac{d}{dx} \cot x = -\csc^2 x \]
cot(x)와 그 도함수의 그래프
\( \cot x \)와 그 도함수의 그래프가 아래에 나와 있습니다. \( \cot x \)는 감소함수이므로, 그 도함수는 항상 음수입니다.
-and-its-derivative.gif)
합성함수 cot(u(x))의 도함수
연쇄 법칙을 사용합니다:
\[ \frac{d}{dx} \cot(u(x)) = \frac{d}{du}(\cot u) \cdot \frac{du}{dx} = -\csc^2(u) \cdot \frac{du}{dx} \]
연쇄 법칙 공식:
\[ \frac{d}{dx} \cot(u(x)) = -\csc^2(u(x))\,u'(x) \]
풀이가 포함된 예제
풀이 예제: 합성 코탄젠트 함수 미분하기
다음 함수의 도함수를 구하세요:
- \( f(x) = \cot(x^3 - 2x + 2) \)
- \( g(x) = \cot(e^x) \)
- \( h(x) = \cot\left(\frac{-2}{x^3 + 2}\right) \)
풀이:
-
\( u = x^3 - 2x + 2 \)라고 하면, \( u' = 3x^2 - 2 \)입니다.
\[ f'(x) = -\csc^2(u) \cdot u' = -(3x^2 - 2)\csc^2(x^3 - 2x + 2) \] -
\( u = e^x \)라고 하면, \( u' = e^x \)입니다.
\[ g'(x) = -\csc^2(e^x) \cdot e^x = -e^x \csc^2(e^x) \] -
\( u = \frac{-2}{x^3+2} \)라고 합니다. 몫의 미분법 또는 거듭제곱 법칙을 사용합니다:
\[ u' = \frac{0 - (-2)(3x^2)}{(x^3+2)^2} = \frac{6x^2}{(x^3+2)^2} \] \[ h'(x) = -\csc^2\left(\frac{-2}{x^3+2}\right) \cdot \frac{6x^2}{(x^3+2)^2} = -\frac{6x^2}{(x^3+2)^2} \csc^2\left(\frac{2}{x^3+2}\right) \]