\( \csc(x) \)의 도함수는 몫의 미분법을 사용하여 계산할 수 있습니다. 또한 풀이된 예제와 함께 합성 코시컨트 함수의 도함수도 제시됩니다.
csc(x)의 도함수 증명
다음 삼각함수 항등식을 사용합니다:
\[ \csc x = \frac{1}{\sin x} \]그리고 몫의 미분법을 적용합니다:
\[ \frac{d}{dx}\csc x = \frac{\left(\frac{d}{dx} 1\right) \cdot \sin x - 1 \cdot \left(\frac{d}{dx} \sin x\right)}{\sin^2 x} \]\( \frac{d}{dx} 1 = 0 \)이고 \( \frac{d}{dx} \sin x = \cos x \)이므로, 다음을 얻습니다:
\[ \frac{d}{dx}\csc x = \frac{0 - \cos x}{\sin^2 x} = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} = -\cot x \, \csc x \]
공식:
\[ \frac{d}{dx}\csc x = -\cot x \, \csc x \]
csc(x)와 그 도함수의 그래프
\( \csc x \)와 그 도함수의 그래프가 아래에 나와 있습니다:
-and-its-derivative.gif)
합성함수 csc(u(x))의 도함수
연쇄 법칙을 사용합니다:
\[ \frac{d}{dx} \csc(u(x)) = \frac{d}{du}(\csc u) \cdot \frac{du}{dx} = -\cot u \, \csc u \cdot \frac{du}{dx} \]
연쇄 법칙 공식:
\[ \frac{d}{dx} \csc(u(x)) = -\cot(u(x)) \, \csc(u(x)) \, u'(x) \]
풀이가 포함된 예제
풀이 예제: 합성 코시컨트 함수 미분하기
다음 함수의 도함수를 구하세요:
- \( f(x) = \csc(-x^3 + 3) \)
- \( g(x) = \csc(\cos x) \)
- \( h(x) = \csc\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \)
풀이:
-
\( u = -x^3 + 3 \)이라고 하면, \( u' = -3x^2 \)입니다.
\[ f'(x) = -\cot(u) \, \csc(u) \, u' = -\cot(-x^3+3) \, \csc(-x^3+3) \cdot (-3x^2) = 3x^2 \, \cot(-x^3+3) \, \csc(-x^3+3) \] -
\( u = \cos x \)라고 하면, \( u' = -\sin x \)입니다.
\[ g'(x) = -\cot(u) \, \csc(u) \, u' = -\cot(\cos x) \, \csc(\cos x) \cdot (-\sin x) = \sin x \, \cot(\cos x) \, \csc(\cos x) \] -
\( u = \frac{1}{x^2+1} \)이라고 하면, \( u' = -\frac{2x}{(x^2+1)^2} \)입니다.
\[ h'(x) = -\cot(u) \, \csc(u) \, u' = -\cot\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \, \csc\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \cdot \left(-\frac{2x}{(x^2+1)^2}\right) = \frac{2x}{(x^2+1)^2} \, \cot\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \, \csc\left(\frac{1}{x^2+1}\right) \]