이 페이지에서는 도함수의 정의를 사용하여 자연로그 함수 ln(x)의 도함수를 증명합니다. 또한 \( \ln(u(x)) \) 형태의 합성함수 도함수를 다루고 상세한 예제를 제공합니다.
정의를 이용한 ln(x) 도함수의 증명
함수 \( f \)의 도함수는 다음과 같이 정의됩니다:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]\( f(x) = \ln(x) \)라고 합시다. 그러면:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln(x+h) - \ln(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln\left(\dfrac{x+h}{x}\right)}{h} \]로그의 거듭제곱 성질을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \ln\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\dfrac{1}{h}} \]\( y = \dfrac{h}{x} \)로 치환하면, \( h = yx \)가 되고 \( \lim_{h \to 0} y = 0 \)입니다. 그러면:
\[ f'(x) = \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{x} \ln\left(1+y\right)^{\dfrac{1}{y}} = \dfrac{1}{x} \ln(e) = \dfrac{1}{x} \]
공식:
\[ \dfrac{d}{dx} \ln(x) = \dfrac{1}{x} \]
합성함수 \( y = \ln(u(x)) \)의 도함수
연쇄 법칙을 사용합니다:
연쇄 법칙 공식:
\[ \dfrac{d}{dx} \ln(u(x)) = \dfrac{1}{u} \dfrac{du}{dx} \]
풀이가 포함된 예제
예제 1: 합성 로그 함수의 도함수
다음 함수의 도함수를 구하세요:
- \( f(x) = \ln\left(\dfrac{x^2}{x-2}\right) \)
- \( g(x) = \ln\left(\sqrt{x^3+1}\right) \)
- \( h(x) = \ln(x^2 + 2x - 5) \)
풀이:
- \( u(x) = \dfrac{x^2}{x-2} \)라 하면, \( u'(x) = \dfrac{2x(x-2) - x^2(1)}{(x-2)^2} = \dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2} \)입니다. \[ f'(x) = \dfrac{1}{u} u' = \dfrac{1}{\dfrac{x^2}{x-2}} \cdot \dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2} = \dfrac{x-4}{x(x-2)} \]
- \( u(x) = \sqrt{x^3+1} \)라 하면, \( u'(x) = \dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}} \)입니다. \[ g'(x) = \dfrac{1}{u} u' = \dfrac{1}{\sqrt{x^3+1}} \cdot \dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}} = \dfrac{3x^2}{2(x^3+1)} \]
- \( u(x) = x^2+2x-5 \)라 하면, \( u'(x) = 2x+2 \)입니다. \[ h'(x) = \dfrac{1}{u} u' = \dfrac{2x+2}{x^2+2x-5} \]