이차함수의 도함수 증명
함수 \( f \)의 도함수 \( f' \)의 정의는 극한으로 주어집니다:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]\( f \)가 \( f(x) = a x^2 + bx + c \) 형태의 이차함수라고 합시다. \( f \)의 도함수를 다음과 같이 씁니다:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{a(x+h)^2 + b(x+h) + c - (ax^2 + bx + c)}{h} \]분자에서 \( a(x+h)^2 \)과 \( b(x+h) \) 항을 전개합니다:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ax^2 + ah^2 + 2axh + bx + bh + c - ax^2 - bx - c}{h} \]분자를 간소화합니다:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{ah^2 + 2axh + bh}{h} \]분자와 분모를 \( h \)로 나눕니다:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} (ah + 2ax + b) \]극한을 구하여 이차함수의 도함수를 얻습니다:
풀이가 포함된 예제
파트 A & 파트 B: 연습 문제 및 풀이
파트 A: 다음 이차함수들의 도함수를 구하세요:
- \( f(x) = 4x^2 - x + 1 \)
- \( g(x) = -x^2 - 1 \)
- \( h(x) = 0.1x^2 - \dfrac{x}{2} - 100 \)
- \( f(x) = -\dfrac{3x^2}{7} - 0.2x + 7 \)
파트 B: \( f(x) = ax^2 + bx + c \)라 합시다. \( f(2) = 3 \), \( f'(0) = 1 \), \( f'(-1) = 2 \)가 주어질 때, \( f'(2) \)를 구하세요.
풀이:
파트 A 풀이:
- \( f'(x) = 8x - 1 \)
- \( g'(x) = -2x \)
- \( h'(x) = 0.2x - \dfrac{1}{2} \)
- \( f'(x) = -\dfrac{6x}{7} - 0.2 \)
파트 B 풀이:
주어진 함수 \( f \)는 이차함수이므로 다음과 같습니다:
\[ f'(x) = 2ax + b \]\( f'(0) = 1 \)이 주어졌으므로 대입하여 방정식을 얻습니다: \( 2a(0) + b = 1 \implies b = 1 \)
\( f'(-1) = 2 \)가 주어졌으므로 대입하여 방정식을 얻습니다: \( 2a(-1) + 1 = 2 \implies -2a = 1 \implies a = -\dfrac{1}{2} \)
\( f(2) = 3 \)이 주어졌으므로 대입하여 방정식을 얻습니다: \( f(2) = -\dfrac{1}{2}(2)^2 + (1)(2) + c = 3 \implies -2 + 2 + c = 3 \implies c = 3 \)
마지막으로 \( f'(2) \)를 구합니다:
\[ f'(2) = 2\left(-\dfrac{1}{2}\right)(2) + 1 = -2 + 1 = -1 \]