\( \sec(x) \)의 도함수는 미분법의 몫의 미분법을 사용하여 계산됩니다.
sec(x)의 도함수 증명
\( \sec x \)와 \( \cos x \) 사이의 관계를 나타내는 삼각함수 항등식은 다음과 같습니다:
\[ \sec x = \dfrac{1}{\cos x} \]미분법의 몫의 미분법을 사용하여 \( \sec x \)의 도함수를 구합니다:
\[ \dfrac{d}{dx} \sec x = \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{1}{\cos x}\right) = \dfrac{\left(\dfrac{d}{dx}1\right) \cos x - 1 \left(\dfrac{d}{dx} \cos x\right)}{\cos^2 x} \]상수 1의 도함수는 0입니다. 삼각함수 도함수 공식 중 \( \dfrac{d}{dx}\cos x = -\sin x \)를 사용하여 대입합니다:
\[ \dfrac{d}{dx} \sec x = \dfrac{0 - (-\sin x)}{\cos^2 x} \]간소화합니다:
\[ = \dfrac{\sin x}{\cos^2 x} = \dfrac{\sin x}{\cos x} \cdot \dfrac{1}{\cos x} = \tan x \sec x \]
공식:
\[ \dfrac{d}{dx} \sec x = \tan x \; \sec x \]
sec(x)와 그 도함수의 그래프
\( \sec(x) \)와 그 도함수의 그래프가 아래에 나와 있습니다:
-and-its-derivative.gif)
합성함수 sec(u(x))의 도함수
다른 함수 \( u(x) \)에 대한 시컨트 합성함수를 고려합니다. 연쇄 법칙을 사용하여 다음과 같이 씁니다:
\[ \dfrac{d}{dx} \sec(u(x)) = \left(\dfrac{d}{du} \sec u\right) \left(\dfrac{d}{dx} u\right) \] \[ = \tan u \sec u \dfrac{du}{dx} \]
연쇄 법칙 공식:
\[ \dfrac{d}{dx} \sec(u(x)) = \tan(u(x)) \; \sec(u(x)) \; u'(x) \]
풀이가 포함된 예제
풀이 예제: 합성 시컨트 함수 미분하기
합성 시컨트 함수의 도함수를 구하세요:
- \( f(x) = \sec(x^2 + x - 1) \)
- \( g(x) = \sec(\sin x) \)
- \( h(x) = \sec(\sqrt{x+2}) \)
풀이:
-
\( u(x) = x^2 + x - 1 \)이라 하면, \( \dfrac{du}{dx} = 2x + 1 \)입니다.
합성 시컨트 함수에 대한 규칙을 적용합니다: \[ f'(x) = \tan(u) \sec(u) \dfrac{du}{dx} = (2x + 1) \, \tan(x^2 + x - 1) \, \sec(x^2 + x - 1) \] -
\( u(x) = \sin x \)라 하면, \( \dfrac{du}{dx} = \cos x \)입니다.
규칙을 적용합니다: \[ g'(x) = \tan(u) \sec(u) \dfrac{du}{dx} = \cos x \, \tan(\sin x) \, \sec(\sin x) \] -
\( u(x) = \sqrt{x+2} \)라 하면, \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2\sqrt{x+2}} \)입니다.
규칙을 적용합니다: \[ h'(x) = \tan(u) \sec(u) \dfrac{du}{dx} = \dfrac{\tan(\sqrt{x+2}) \, \sec(\sqrt{x+2})}{2\sqrt{x+2}} \]