실시예 1
도함수의 정의를 사용하여 다음과 같이 정의된 함수 \( f \)의 도함수를 찾습니다.
\[
f(x) = m x + b
\]
여기서 \( m \) 및 \( b \)는 상수입니다.
예제 1에 대한 해결책
먼저 차이몫을 계산해야 합니다.
\(
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{m(x+h)+b -(mx+b)}{h}
\)
단순화하다
\(
= \dfrac{m h}{h} = m
\)
도함수 \( f '\)는 \( m \)(상수)의 극한에 의해 \( {h\to\ 0} \)로 제공됩니다. 따라서
\(
f'(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to\ 0} m = m
\)
선형 함수 \( f(x) = m x + b \)의 도함수는 선인 그래프의 기울기 \( m \)와 같습니다.
실시예 2
정의를 사용하여 다음의 도함수를 찾습니다.
\[
f(x) = a x^2 + bx + c
\]
예제 2에 대한 해결책
먼저 차이지수를 찾습니다.
\(
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{a(x + h)^2 + b(x + h) + c - ( a x^2 + b x + c )}{h}
\)
분자의 표현식을 확장하고 용어와 같이 그룹화하세요.
\(
= \dfrac{a x^2 + 2 a x h + a h^2 + b x + b h + c - a x^2 - b x - c}{h}
\)
단순화하다 .
\(
= \dfrac{2 a x h + b h + a h^2}{h} = 2 a x + b + a h
\)
\( f(x) = a x^2 + bx + c \)의 도함수는 차이몫의 극한으로 제공됩니다. 따라서
\(
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to\ 0} (2 a x + b + a h) = 2 a x + b
\)
실시예 3
다음과 같이 주어진 함수 f의 정의를 사용하여 도함수를 구합니다.
\[ f(x) = \sin x\]
예제 3에 대한 해결책
먼저 차이몫을 계산합니다.
\(
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{\sin (x + h) - \sin x }{h}
\)
삼각 공식을 사용하여 차이 sin(x + h)을 변환하세요. 분자의 sin x를 곱으로 변환합니다.
\(
\dfrac{\sin (x + h) - \sin x }{h} = \dfrac{2 \cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h}
\)
위의 차이몫을 다음과 같이 다시 작성합니다.
\(
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{\cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h/2}
\)
도함수는 차이몫의 극한으로 제공됩니다. 따라서
\(
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{\cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h/2}
\)
두 함수의 곱의 극한에 대한 정리를 사용하여 작성합니다.
\(
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h/2} = \lim_{h\to\ 0} cos [ (2 x + h)/2 ] \times \lim_{h\to\ 0} \dfrac{\sin (h/2)}{h/2}
\)
위 제품의 한도는 다음과 같습니다.
\( \lim_{h\to\ 0} \cos [ (2 x + h)/2 ] = \cos (2 x / 2) = \cos x \)
그리고
\( \lim_{h\to\ 0} \dfrac{\sin (h/2)}{h/2} = \lim_{t\to\ 0} \dfrac{\sin (t)}{t} = 1 \)
\( f(x) = \sin x \)의 미분은 차이몫의 극한에 의해 제공됩니다. 따라서
\(
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \cos x \times 1 = \cos x
\)
실시예 4
정의를 사용하여 차별화
\[ f(x) = \sqrt x \]
실시예 5
정의를 사용하여 차별화하세요.
\[ f(x) = \dfrac{1}{x} \]
실시예 5에 대한 해결책
차이몫은 다음과 같이 주어진다.
\(
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{\dfrac{1}{x+h} - \dfrac{1}{x}}{h}
\)
분자에 있는 두 개의 유리식을 동일한 분모로 설정하고 위의 식을 다음과 같이 다시 작성합니다.
\(
= \dfrac{\dfrac{x}{x(x+h)} - \dfrac{x+h}{x(x+h)}}{h}
\)
그것은 단순화됩니다.
\(
= \dfrac{x-(x+h)}{x(x+h)h}
\)
\(
= \dfrac{-1}{x(x+h)}
\)
\( f(x) = \dfrac{1}{x} \)의 미분은 차이몫의 극한으로 제공됩니다. 따라서
\(
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{-1}{x(x+h)} = -\dfrac{1}{x^2}
\)
