미적분학의 적분을 사용하여 반지름이 \( a \)인 원의 넓이를 구합니다.
문제 풀이
위에 표시된 원의 방정식은 다음과 같습니다:
\[ x^2 + y^2 = a^2 \]이 원은 x축과 y축 양쪽에 대해 대칭입니다. 따라서 원의 4분 중 한 곳의 넓이를 구한 후 4를 곱하면 원의 전체 넓이를 얻을 수 있습니다.
원의 방정식에서 \( y \)를 풉니다:
\[ y = \pm \sqrt{a^2 - x^2} \]위쪽 반원(\( y \ge 0 \))의 방정식은 다음과 같습니다:
\[ y = \sqrt{a^2 - x^2} \]근호 안에서 \( a^2 \)을 인수분해합니다:
\[ y = \sqrt{a^2 \left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right)} \]근호 밖으로 \( a^2 \)을 꺼냅니다:
\[ y = a \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \]정적분을 사용하여 우측 상단 사분원의 넓이를 구합니다:
\( \sin t = \frac{x}{a} \)로 두어 삼각치환을 사용합니다. 그러면 \( x = a \sin t \)이고 \( dx = a \cos t \, dt \)가 됩니다. 적분식은 다음과 같이 변환됩니다:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of circle} = \int_0^{\pi/2} a^2 \sqrt{1 - \sin^2 t} \cos t \, dt \]이제 다음 삼각함수 항등식을 사용합니다:
\[ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \]이를 통해 \( \sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos t \)가 됩니다(\( t \)가 \( 0 \)부터 \( \pi/2 \)까지 변하므로). 따라서:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of circle} = \int_0^{\pi/2} a^2 \cos^2 t \, dt \]반각 공식 \( \cos^2 t = \dfrac{\cos(2t) + 1}{2} \)을 사용하여 피적분 함수를 선형화합니다:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of circle} = \int_0^{\pi/2} a^2 \left( \dfrac{\cos(2t) + 1}{2} \right) dt \]적분을 계산합니다:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of circle} = \dfrac{1}{2} a^2 \left[ \dfrac{1}{2} \sin(2t) + t \right]_0^{\pi/2} \]간단히 정리합니다:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of circle} = \dfrac{1}{4} \pi a^2 \]사분원의 넓이에 4를 곱하여 원의 전체 넓이를 얻습니다:
원의 넓이 공식:
\[ \text{Area of circle} = 4 \times \left(\dfrac{1}{4} \pi a^2\right) = \pi a^2 \]