문제 풀이
위에 표시된 타원의 방정식은 다음과 같은 형태로 작성할 수 있습니다:
\[ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \]타원은 \( x \)축과 \( y \)축 양쪽에 대해 대칭이므로, 전체 넓이를 얻기 위해 4사분면 중 한 곳의 넓이를 구한 뒤 4를 곱할 수 있습니다.
위 방정식에서 \( y \)를 풉니다:
\[ y = \pm b \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a^2}} \]타원의 위쪽 부분(\( y \)가 양수)은 다음과 같습니다:
\[ y = b \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a^2}} \]이제 정적분을 사용하여 타원의 우측 상단 사분원의 넓이를 구합니다:
이제 삼각치환 \( \sin t = \dfrac{x}{a} \)를 적용합니다. 그러면 \( x = a \sin t \)이고 \( dx = a \cos t \, dt \)가 됩니다. 적분식은 다음과 같이 변환됩니다:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of ellipse} = \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b \left(\sqrt{1 - \sin^2 t}\right) \cos t \, dt \]\( t \)가 \( 0 \)부터 \( \dfrac{\pi}{2} \)까지 변할 때 \( \sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos t \)이므로, 다음식을 얻습니다:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of ellipse} = \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b \cos^2 t \, dt \]반각 공식 \( \cos^2 t = \dfrac{\cos 2t + 1}{2} \)을 사용하여 피적분 함수를 선형화합니다:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of ellipse} = \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b \left( \dfrac{\cos 2t + 1}{2} \right) dt \]적분을 계산합니다:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Area of ellipse} = \dfrac{1}{2} ab \left[ \dfrac{1}{2} \sin 2t + t \right]_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} = \dfrac{1}{4} \pi ab \]4를 곱하여 타원의 전체 넓이를 구합니다:
타원의 넓이 공식:
\[ \text{Area of ellipse} = 4 \times \dfrac{1}{4} \pi ab = \pi ab \]