함수의 적분 평가

먼저 삼각함수 항등식 \( 2 \sin x \cos x = \sin(2x) \)를 사용하여 적분식을 다시 씁니다:

\[ \int 6 \; \cos x \; \sin x \; dx = 3 \int \sin(2x) \; dx \]

치환적분을 사용합니다: \( u = 2x \)로 놓으면, \( \dfrac{du}{dx} = 2 \) 또는 \( dx = du / 2 \)가 됩니다:

\[ = 3 \int (1/2) \sin u \; du = - (3/2) \cos u + c \]

\( u = 2x \)를 다시 대입합니다:

\[ \int 6 \cos x \sin x \, dx = - (3/2) \cos(2x) + c \]

검산: \( - (3/2) \cos(2x) + c \)를 미분하면 원래의 피적분 함수인 \( 6 \sin x \cos x \)가 됩니다.

치환적분을 사용합니다: \( u = x + 1 \)로 놓으면 \( x = u - 1 \)이 되고 \( du = dx \)가 됩니다.

\[ \int x \sqrt{x+1} \; dx = \int (u-1) \cdot u^{1/2} \; du = \int (u^{3/2} - u^{1/2}) \; du \]

적분의 거듭제곱 법칙(\( \int x^n dx = \dfrac{1}{n+1} x^{n+1} + c \))을 사용합니다:

\[ = (2 / 5) u^{5/2} - (2 / 3) u^{3/2} + c \]

\( u = x + 1 \)을 다시 대입합니다:

\[ \int x \sqrt{x+1} \, dx = (2 / 5) (x + 1)^{5/2} - (2 / 3) (x + 1)^{3/2} + c \]

삼각함수 항등식 \( \cos^2 x = \dfrac{1 + \cos(2x)}{2} \)을 사용합니다:

\[ \int \cos^2 x \; dx = \int \dfrac{1 + \cos(2x)}{2} \; dx \]

\( u = 2x \)로 놓으면 \( dx = du / 2 \)가 됩니다:

\[ = \int (1/4)(1 + \cos u) \; du = (1 / 4) u + (1 / 4) \sin(u) + c \]

\( u = 2x \)를 다시 대입합니다:

\[ \int \cos^2 x \; dx = x / 2 + (1 / 4) \sin(2x) + c \]

\( u = x^4 \)으로 놓으면, \( (1 / 4) du = x^3 dx \)가 됩니다:

\[ \int x^3 e^{x^4} dx = \int (1 / 4) e^u \; du = (1 / 4) e^u + c \]

\( u = x^4 \)을 다시 대입합니다:

\[ \int x^3 e^{x^4} dx = (1 / 4) e^{x^4} + c \]

항등식 \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \) 및 \( 1 - \cos^2(x) = \sin^2(x) \)를 사용합니다:

\[ \int \dfrac{2 \sin x \cos x}{\sin^2(x)} dx = \int 2 \dfrac{\cos x}{\sin x} \; dx \]

공식 \( \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln|f(x)| + c \)을 사용합니다:

\[ = 2 \ln|\sin x| + c \]

\( (x + \sin x)^2 = x^2 + \sin^2 x + 2x \sin x \)로 전개하고 합의 법칙을 적용합니다:

\[ \int (x + \sin x)^2 \; dx = \int x^2 \; dx + \int \sin^2 x \; dx + \int 2x \sin x \; dx \]

\( \int x^2 \; dx = (1/3) x^3 + c \)

\( \sin^2 x = (1 - \cos(2x)) / 2 \)를 사용합니다:
\( \int \sin^2 x \; dx = (1/2) x - (1/4) \sin(2x) + c \)

\( \int 2x \sin x \; dx \)에 대해 부분적분을 사용합니다 (\( v = x, u' = \sin x \)):

\[ \int 2x \sin x \, dx = -2x \cos x + 2 \sin x + c \]

모두 더합니다:

\[ \int (x + \sin x)^2 \; dx = (1/3) x^3 + (1/2) x - (1/4) \sin(2x) - 2x \cos x + 2 \sin x + c \]

\( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \)를 사용합니다. \( u = \cos x \)로 놓으면, \( du = - \sin x \; dx \)가 됩니다:

\[ \int \dfrac{\sin x}{1 - \cos^2 x - 2 \cos x + 2} \; dx = \int \dfrac{1}{u^2 + 2u - 3} \, du \]

\( u^2 + 2u - 3 = (u+3)(u-1) \)로 인수분해하고 부분분수 분해를 사용합니다:

\[ \dfrac{1}{u^2 + 2u - 3} = \dfrac{1}{4(u-1)} - \dfrac{1}{4(u+3)} \]

적분하고 \( u = \cos x \)를 다시 대입합니다:

\[ = (1/4) (\ln|u-1| - \ln|u+3|) + c \] \[ \int \dfrac{\sin x}{\sin^2 x - 2 \cos x + 2} \; dx = (1/4) \left(\ln \left|\dfrac{\cos x - 1}{\cos x + 3}\right|\right) + c \]

\( u = \sqrt{x + 2} \)로 놓으면 \( dx = 2u \; du \)이고 \( x = u^2 - 2 \)가 됩니다.

\[ \int \dfrac{1}{x + \sqrt{x+2}} \; dx = 2 \int \dfrac{u}{u^2 - 2 + u} \; du \]

\( u^2 + u - 2 = (u+2)(u-1) \)로 인수분해하고 부분분수를 사용합니다:

\[ \dfrac{u}{u^2 + u - 2} = \dfrac{1}{3(u-1)} + \dfrac{2}{3(u+2)} \] \[ 2 \int \dfrac{u}{u^2 + u - 2} \; du = 2 \int \dfrac{1}{3(u-1)} du + 2 \int \dfrac{2}{3(u+2)} du \] \[ = (2/3) \ln|u-1| + (4/3) \ln|u+2| + c \]

\( u = \sqrt{x + 2} \)를 대입합니다:

\[ \int \dfrac{1}{x + \sqrt{x+2}} \; dx = (2/3) \ln|\sqrt{x+2} - 1| + (4/3) \ln|\sqrt{x+2} + 2| + c \]

항등식 \( \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \)를 사용합니다:

\[ \int \dfrac{1}{\tan x} \; dx = \int \dfrac{\cos x}{\sin x} \; dx \]

공식 \( \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \; dx = \ln|f(x)| + c \)을 사용합니다:

\[ \int \dfrac{1}{\tan x} \; dx = \ln|\sin x| + c \]

분모의 제곱을 완성합니다: \( x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2 \)

\[ \int \dfrac{1}{(x+1)^2} \; dx \]

\( u = x + 1 \) 및 \( dx = du \)로 놓습니다:

\[ = \int u^{-2} \; du = - \dfrac{1}{u} + c \]

\( u = x + 1 \)을 다시 대입합니다:

\[ \int \dfrac{1}{x^2 + 2x + 1} \; dx = - \dfrac{1}{x+1} + c \]

분모의 제곱을 완성합니다: \( x^2 + x + 1 = (x + 1/2)^2 + 3/4 \)

\( u = x + 1/2 \)로 놓고, \( 3/4 \)를 밖으로 빼냅니다:

\[ \int \dfrac{1}{u^2 + 3/4} du = \dfrac{4}{3} \int \dfrac{1}{\dfrac{4}{3} u^2 + 1} du \]

\( w = \dfrac{2}{\sqrt{3}} u \)로 치환하면, \( du = \dfrac{\sqrt{3}}{2} dw \)가 됩니다:

\[ \dfrac{4}{3} \dfrac{\sqrt{3}}{2} \int \dfrac{1}{w^2 + 1} dw = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \arctan w \]

\( w = \dfrac{2}{\sqrt{3}} (x + 1/2) \)를 다시 대입합니다:

\[ \int \dfrac{1}{x^2 + x + 1} dx = \dfrac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} (x + 1/2)\right) + c \]

분자의 차수가 분모보다 크므로 분자를 분모로 나눕니다:

\[ \dfrac{x^4 - 2x^2 + x}{x^2 + x + 1} = x^2 - x - 2 + \dfrac{4x + 2}{x^2 + x + 1} \]

\( \dfrac{4x + 2}{x^2 + x + 1} \)은 \( 2 \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1} \)로 쓸 수 있습니다.

\( 2x + 1 \)은 \( x^2 + x + 1 \)의 도함수이므로 로그 법칙을 사용합니다:

\[ \int \dfrac{x^4 - 2x^2 + x}{x^2 + x + 1} dx = (1/3)x^3 - (1/2)x^2 - 2x + 2 \ln|x^2 + x + 1| + c \]

이항 정리(이항정리)를 사용하여 피적분 함수를 전개합니다:

\[ \left(x^3 - \dfrac{1}{x^2}\right)^4 = x^{12} - 4x^7 + 6x^2 - \dfrac{4}{x^3} + \dfrac{1}{x^8} \]

거듭제곱 함수의 적분을 사용하여 최종 답을 구합니다:

\[ \int \left(x^3 - \dfrac{1}{x^2}\right)^4 \; dx = \dfrac{x^{13}}{13} - \dfrac{x^8}{2} + 2x^3 + \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{7x^7} + c \]

항등식 \( \tan^2 x = \sec^2 x - 1 \)을 사용하여 적분식을 다시 씁니다:

\[ \int \tan^2(x) \; dx = \int (\sec^2 x - 1) \; dx = \int \sec^2 x \; dx - \int 1 \; dx \]

공식 \( \int \sec^2 x dx = \tan(x) + c \)를 사용합니다:

\[ \int \tan^2(x) \; dx = \tan(x) - x + c \]

\( u = 4x^5 - 2 \)로 놓으면 \( du = 20x^4 dx \)가 됩니다:

\[ \int x^4(4x^5 - 2)^{10} \; dx = \dfrac{1}{20} \int u^{10} du = \dfrac{1}{220} u^{11} + c \]

\( u = 4x^5 - 2 \)를 다시 대입합니다:

\[ \int x^4(4x^5 - 2)^{10} \; dx = \dfrac{1}{220} ( 4x^5 - 2 )^{11} + c \]

부분적분을 사용합니다: \( w' = x^2 \) (\( w = (1/3) x^3 \)) 및 \( v = \arcsin(x) \) (\( v' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \)).

\[ \int x^2 \arcsin(x) \; dx = (1/3) x^3 \arcsin(x) - (1/3) \int x^3 \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \; dx \]

\( u = \sqrt{1-x^2} \) 치환을 사용하여 우측 적분을 풀면 다음과 같습니다:

\[ \int x^2 \arcsin(x) \; dx = \dfrac{1}{3} x^3 \arcsin(x) - \dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{3} (1-x^2)^{3/2} - \sqrt{1-x^2} \right) + c \]

부분적분을 사용합니다. \( w' = \sqrt{x} \) (\( w = (2/3)x^{3/2} \)) 및 \( v = \ln x \) (\( v' = 1/x \))로 놓습니다:

\[ \int \sqrt{x} \ln x \; dx = (2/3)x^{3/2} \ln x - \int (2/3)x^{1/2} \; dx \] \[ = \dfrac{2}{3} \; x^{3/2} \ln x - \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 x^{3/2} + c \]

\( u = \sqrt{x+1} \)로 놓으면 \( dx = 2u \; du \)이고 \( x = u^2 - 1 \)이 됩니다:

\[ \int \dfrac{\sqrt{x+1}}{x} \; dx = \int \dfrac{u}{u^2 - 1} 2u \; du = 2 \int \dfrac{u^2}{u^2 - 1} \; du \]

분자를 나누고 부분분수로 다시 씁니다:

\[ \dfrac{u^2}{u^2 - 1} = 1 - \dfrac{1}{2(u+1)} + \dfrac{1}{2(u-1)} \] \[ 2 \int \left(1 - \dfrac{1}{2(u+1)} + \dfrac{1}{2(u-1)}\right) \; du = 2 \left(u - \dfrac{1}{2} \ln|u+1| + \dfrac{1}{2} \ln|u-1|\right) + c \]

\( u = \sqrt{x+1} \)을 대입합니다:

\[ \int \dfrac{\sqrt{x+1}}{x} \; dx = 2 \sqrt{x+1} + \ln \left(\dfrac{|x|}{(\sqrt{x+1} + 1)^2}\right) + c \]

\( u = \sqrt{x} \), \( dx = 2u \; du \)로 놓습니다:

\[ \int \sin\left(\sqrt{x}\right) \; dx = 2 \int u \sin u \; du \]

\( \int u \sin u \; du \)에 부분적분을 적용합니다:

\[ \int u \sin u \; du = -u \cos u + \int \cos u \, du = -u \cos u + \sin u + c \]

\( u = \sqrt{x} \)를 다시 대입합니다:

\[ \int \sin\left(\sqrt{x}\right) \; dx = -2 \sqrt{x} \cos\sqrt{x} + 2 \sin\sqrt{x} + c \]

\( u = e^x \), \( dx = \dfrac{1}{u} du \)로 놓습니다:

\[ \int \dfrac{1}{e^x + e^{-x}} \; dx = \int \dfrac{1}{u + 1/u} \; \dfrac{1}{u} \; du = \int \dfrac{1}{u^2 + 1} \; du \]

공통 적분 공식 \( \int \dfrac{1}{u^2+1}du = \arctan(u) \)을 사용합니다:

\[ \int \dfrac{1}{e^x + e^{-x}} \; dx = \arctan(e^x) + c \]

밑변환 공식 \( \log_5(x) = \dfrac{\ln x}{\ln 5} \)을 사용합니다:

\[ \int \log_5 x \; dx = \dfrac{1}{\ln 5} \int \ln x \; dx \]

\( \int \ln x \, dx \)에 부분적분을 적용합니다 (\( w' = 1, v = \ln x \)):

\[ \int \ln x \; dx = x \ln x - \int x (1/x) \; dx = x \ln x - x + c \] \[ \int \log_5 x \; dx = \dfrac{1}{\ln 5} (x \ln x - x) + c \]

삼각치환을 사용합니다: \( \dfrac{x}{4} = \sin t \)로 놓으면 \( x = 4 \sin t \)이고 \( dx = 4 \cos t \, dt \)가 됩니다:

\[ \sqrt{16 - x^2} = 4 \sqrt{1 - \sin^2 t} = 4 \cos t \] \[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \; dx = \int \dfrac{(4 \sin t)^2}{4 \cos t} \; 4 \cos t \, dt = 16 \int \sin^2 t \; dt \]

\( \sin^2 t = (1/2)(1 - \cos(2t)) \)를 사용합니다:

\[ 16 \int (1/2)(1 - \cos(2t)) \; dt = 8t - 4 \sin(2t) + c \]

\( t = \arcsin(x/4) \)를 대입하고 정리합니다:

\[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - x^2}} \; dx = 8 \arcsin(x/4) - \dfrac{x\sqrt{16 - x^2}}{2} + c \]

\[ \dfrac{2}{3}x^{3/2} - \dfrac{x^4}{16} + \dfrac{1}{2}x^2 \ln x - \dfrac{x^2}{4} + c \]

\[ (2 / 3)(x+1)^{3/2} + c \]

\[ x / 2 - (1/2) \sin x \cos x + c \]

\[ (1 / 2) \sin(x^2) + c \]

\[ (1 / 2) e^{x^2} + c \]