푸리에 변환의 정의
실수 변수 \( t \)의 함수 \( f(t) \)가 주어졌을 때, \( f \)의 푸리에 변환 \( F(\omega) \)는 다음과 같은 적분으로 주어집니다:
푸리에 변환 적분:
\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-j \omega t} f(t) \, dt \]
여기서 \( j = \sqrt{-1} \)은 허수단위입니다.
이후 내용에서 \( u(t) \)는 다음과 같이 정의되는 단위 계단 함수입니다:
\( t \ge 0 \)일 때 \( u(t) = 1 \) 이고 \( t < 0 \)일 때 \( u(t) = 0 \).
푸리에 변환표
| 함수 \( f(t) \) | 푸리에 변환 \( F(\omega) \) |
|---|---|
| \( u(t) e^{-a t} \), \( a > 0 \) | \( \dfrac{1}{a + j \omega} \) |
| \( -a \le t \le a \) 일 때 \( f(t) = 1 \) 그 외의 경우 \( 0 \) |
\( \dfrac{2 \sin(\omega a)}{\omega} \) |
| \( f(t) = A \) (상수) | \( 2 \pi A \delta(\omega) \) |
| \( \delta(t) \) | \( 1 \) |
| \( \delta(t - a) \) | \( e^{-j \omega a} \) |
| \( \cos(a t) \) | \( \pi [\delta(\omega + a) + \delta(\omega - a)] \) |
| \( \sin(a t) \) | \( -j \pi [\delta(\omega - a) - \delta(\omega + a)] \) |
| \( e^{j a t} \) | \( 2 \pi \delta(\omega - a) \) |
| \( f'(t) \) | \( j \omega F(\omega) \) |
| \( f''(t) \) | \( (j \omega)^2 F(\omega) \) |
| \( t f(t) \) | \( j \dfrac{d F(\omega)}{d \omega} \) |
| \( t^2 f(t) \) | \( j^2 \dfrac{d^2 F(\omega)}{d \omega^2} \) |