무한 구간의 이상적분 정의 [1] [2]
무한 구간을 포함하는 3가지 유형의 적분을 고려합니다:
1 - 적분의 위한계가 무한인 경우
\( \displaystyle \int_a^{\infty} f(x) \, dx \) 형태의 적분은 모든 \( b \ge a \)에 대해 \( \int_a^{b} f(x) \, dx \)가 존재하고 다음 극한:
\[ \lim_{b \to \infty} \int_a^{b} f(x) \, dx \]이 존재하며 유한할 때 존재하고 수렴한다고 합니다. 이 경우 다음과 같이 씁니다:
2 - 적분의 아래한계가 무한인 경우
\( \displaystyle \int_{-\infty}^a f(x) \, dx \) 형태의 적분은 모든 \( b \le a \)에 대해 \( \int_b^{a} f(x) \, dx \)가 존재하고 다음 극한:
\[ \lim_{b \to -\infty} \int_b^{a} f(x) \, dx \]이 존재하며 유한할 때 존재하고 수렴한다고 합니다. 이 경우 다음과 같이 씁니다:
3 - 적분의 양쪽 한계가 모두 무한인 경우
\( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx \) 형태의 적분은 두 적분:
\[ \int_{-\infty}^a f(x) \, dx \quad \text{와} \quad \int_a^{\infty} f(x) \, dx \]모두 임의의 실수 \( a \)에 대해 수렴할 때 존재하고 수렴한다고 합니다. 이 경우 다음과 같이 씁니다:
참고: 적분 구간이 \( x = a \)에서 분할되어, 각각 하나의 무한 한계만 갖는 두 적분의 합이 됩니다.
예제 및 해설
예제 1
가능한 경우 다음 적분을 평가하세요:
\[ \int_1^{\infty} x \, dx \]예제 2
다음 적분은 수렴합니까, 발산합니까? 수렴한다면 값을 구하세요.
\[ \int_1^{\infty} \dfrac{1}{x^2} \, dx \]예제 3
가능한 경우 다음 적분을 평가하세요:
\[ \int_{-\infty}^0 \dfrac{1}{\sqrt{2 - 3x}} \, dx \]예제 4
가능한 경우 다음 적분을 평가하세요:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} x^5 e^{-x^6} \, dx \]예제 5
다음 적분:
\[ \int_{e}^{\infty} \dfrac{1}{x(\ln x)^{p+1}} \, dx \]이 수렴하기 위한 \( p \)의 값은 무엇입니까? \( p \)에 대한 식으로 그 값을 구하세요.
연습문제
가능한 경우 다음 각 적분을 평가하세요:
- \( \displaystyle \int_1^{\infty} \dfrac{1}{(4x+1)^2} \, dx \)
- \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{x}{1+x^2} \, dx \)
- \( \displaystyle \int_{-\infty}^{-1} e^{2x} \, dx \)
- \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{7x^2}{3+x^6} \, dx \)
- \( \displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{e^{2x}}{e^{4x}+3} \, dx \)
추가 참고 자료 및 링크
- University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
- Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
- 적분과 미적분학에서의 그 응용