임의의 밑을 가진 로그함수의 적분을 구하는 단계가 아래에 제시되어 있습니다.
밑 변환 공식의 활용
\( y = \log_a x \)로 놓습니다.
밑 변환 공식을 사용하여 자연로그(\( \ln \))를 이용해 \( y = \log_a x \)를 다시 씁니다:
\[ y = \log_a x = \dfrac{\ln x}{\ln a} \]이제 다음 적분을 평가합니다:
\[ \int \log_a x \, dx = \int \left(\dfrac{\ln x}{\ln a}\right) dx \]\( \ln a \)는 상수이므로 밖으로 빼낼 수 있습니다:
\[ \int \log_a x \, dx = \dfrac{1}{\ln a} \int \ln x \, dx \qquad (I) \]\( \ln x \)의 적분은 다음과 같이 주어집니다:
\[ \int \ln x \, dx = x \ln x - x + c \]이를 식 (I)에 다시 대입하여 다음을 얻습니다:
\( \log_a x \)의 적분 공식:
\[ \int \log_a x \, dx = \dfrac{1}{\ln a} (x \ln x - x) + c \]