강력한 치환적분법 기법을 사용하여 적분을 구하는 방법에 대한 예제, 상세한 풀이, 그리고 정답이 포함된 연습문제가 있는 튜토리얼입니다.
치환적분법 복습
치환적분법을 사용하면 복잡한 적분을 쉽게 계산할 수 있습니다. 다음과 같은 형태의 적분을 살펴봅시다:
\[ \int_{a}^{b} f(g(x)) g'(x) \, dx \]\( u = g(x) \)로 치환하면, \( \dfrac{du}{dx} = g'(x) \)이고 \( du = g'(x) \, dx \)가 됩니다. 이 치환을 거치면 정적분은 다음과 같이 변환됩니다:
\[ \int_{a}^{b} f(g(x)) g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du \]이후 설명에서 \( C \)는 부정적분에 더해지는 적분상수를 나타냅니다.
예제 및 풀이
각 예제를 클릭하여 단계별 풀이를 확인하세요.
예제 1: \( \displaystyle \int \sin(ax + b) \, dx \)를 구하세요.
\( u = ax + b \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = a \) 또는 \( dx = \dfrac{1}{a} \, du \)가 됩니다. 이 치환을 통해 다음과 같이 적분을 계산합니다:
\[ \begin{aligned} \int \sin(ax + b) \, dx &= \dfrac{1}{a} \int \sin(u) \, du \\ &= -\dfrac{1}{a} \cos(u) + C \\ &= -\dfrac{1}{a} \cos(ax + b) + C \end{aligned} \]예제 2: \( \displaystyle \int e^{3x - 2} \, dx \)를 구하세요.
\( u = 3x - 2 \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = 3 \) 또는 \( dx = \dfrac{1}{3} \, du \)가 됩니다. 따라서:
\[ \begin{aligned} \int e^{3x - 2} \, dx &= \int e^u \cdot \dfrac{1}{3} \, du \\ &= \dfrac{1}{3} e^u + C \\ &= \dfrac{1}{3} e^{3x - 2} + C \end{aligned} \]예제 3: \( \displaystyle \int x (2x^2 + 5)^4 \, dx \)를 구하세요.
\( u = 2x^2 + 5 \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = 4x \), \( du = 4x \, dx \), 또는 \( \dfrac{1}{4} du = x \, dx \)가 됩니다. 치환을 적용하면:
\[ \begin{aligned} \int x (2x^2 + 5)^4 \, dx &= \int \dfrac{1}{4} u^4 \, du \\ &= \dfrac{1}{20} u^5 + C \\ &= \dfrac{1}{20} (2x^2 + 5)^5 + C \end{aligned} \]예제 4: \( \displaystyle \int x \sqrt{2x + 1} \, dx \)를 구하세요.
\( u = 2x + 1 \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = 2 \)이고 \( dx = \dfrac{1}{2} \, du \)가 됩니다. \( u = 2x + 1 \)을 \( x \)에 대해 풀면 \( x = \dfrac{1}{2}(u - 1) \)이 됩니다. 치환을 적용하면:
\[ \begin{aligned} \int x \sqrt{2x + 1} \, dx &= \int \dfrac{1}{2}(u - 1) \sqrt{u} \cdot \dfrac{1}{2} \, du \\ &= \dfrac{1}{4} \int (u - 1) u^{1/2} \, du \\ &= \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{2}{5} u^{5/2} - \dfrac{2}{3} u^{3/2} \right) + C \\ &= \dfrac{(2x + 1)^{3/2} (3x - 1)}{15} + C \end{aligned} \]예제 5: \( \displaystyle \int (x - 5)^{-4} \, dx \)를 구하세요.
\( u = x - 5 \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = 1 \)이 됩니다. 주어진 적분에 대입하면:
\[ \begin{aligned} \int (x - 5)^{-4} \, dx &= \int u^{-4} \, du \\ &= -\dfrac{1}{3} u^{-3} + C \\ &= -\dfrac{1}{3} (x - 5)^{-3} + C \end{aligned} \]예제 6: \( \displaystyle \int -x e^{x^2 + 2} \, dx \)를 구하세요.
\( u = x^2 + 2 \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = 2x \)이고 \( \dfrac{1}{2} du = x \, dx \)가 됩니다. 적분에 대입하면:
\[ \begin{aligned} \int -x e^{x^2 + 2} \, dx &= \int -e^u \cdot \dfrac{1}{2} \, du \\ &= -\dfrac{1}{2} \int e^u \, du \\ &= -\dfrac{1}{2} e^u + C \\ &= -\dfrac{1}{2} e^{x^2 + 2} + C \end{aligned} \]예제 7: \( \displaystyle \int \cos(x) \sin^4(x) \, dx \)를 구하세요.
\( u = \sin(x) \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = \cos(x) \) 또는 \( \cos(x) \, dx = du \)가 됩니다. 적분에 대입하면:
\[ \begin{aligned} \int \cos(x) \sin^4(x) \, dx &= \int u^4 \, du \\ &= \dfrac{1}{5} u^5 + C \\ &= \dfrac{1}{5} \sin^5(x) + C \end{aligned} \]예제 8: \( \displaystyle \int \dfrac{3x}{4x + 1} \, dx \)를 구하세요.
\( u = 4x + 1 \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = 4 \) 또는 \( dx = \dfrac{1}{4} \, du \)가 됩니다. \( x \)에 대해 풀면 \( x = \dfrac{1}{4}(u - 1) \)이 됩니다. 대입하여 정리하면:
\[ \begin{aligned} \int \dfrac{3x}{4x + 1} \, dx &= \int 3 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{u - 1}{u} \, du \\ &= \dfrac{3}{16} \int \left( 1 - \dfrac{1}{u} \right) du \\ &= \dfrac{3}{16} (u - \ln|u|) + C \\ &= \dfrac{3}{16} \bigl( 4x + 1 - \ln|4x + 1| \bigr) + C \end{aligned} \]예제 9: \( \displaystyle \int \dfrac{x}{\sqrt{x - 2}} \, dx \)를 구하세요.
\( u = x - 2 \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = 1 \), \( dx = du \), 그리고 \( x = u + 2 \)가 됩니다. 치환하면:
\[ \begin{aligned} \int \dfrac{x}{\sqrt{x - 2}} \, dx &= \int \dfrac{u + 2}{\sqrt{u}} \, du \\ &= \int \left(u^{1/2} + 2u^{-1/2}\right) du \\ &= \dfrac{2}{3} u^{3/2} + 4\sqrt{u} + C \\ &= \dfrac{2}{3} (x - 2)^{3/2} + 4\sqrt{x - 2} + C \end{aligned} \]예제 10: \( \displaystyle \int (x + 2)^3 (x + 4)^2 \, dx \)를 구하세요.
\( u = x + 2 \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = 1 \), \( dx = du \), 그리고 \( x = u - 2 \) (따라서 \( x + 4 = u + 2 \))가 됩니다. 이를 대입하면:
\[ \begin{aligned} \int (x + 2)^3 (x + 4)^2 \, dx &= \int u^3 (u + 2)^2 \, du \\ &= \int u^3 (u^2 + 4u + 4) \, du \\ &= \int (u^5 + 4u^4 + 4u^3) \, du \\ &= \dfrac{1}{6} u^6 + \dfrac{4}{5} u^5 + u^4 + C \\ &= \dfrac{1}{6} (x + 2)^6 + \dfrac{4}{5} (x + 2)^5 + (x + 2)^4 + C \end{aligned} \]예제 11: \( \displaystyle \int \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x + 1} \, dx \)를 구하세요.
\( u = x^2 + 3x + 1 \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = 2x + 3 \) 또는 \( (2x + 3) \, dx = du \)가 됩니다. 치환을 통해 적분을 계산하면:
\[ \begin{aligned} \int \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x + 1} \, dx &= \int \dfrac{1}{u} \, du \\ &= \ln|u| + C \\ &= \ln|x^2 + 3x + 1| + C \end{aligned} \]연습문제
적분 공식 모음과 치환적분법을 사용하여 아래의 적분을 구하세요:
- \( \displaystyle \int \cos(3x - 2) \, dx \)
- \( \displaystyle \int e^{4x - 7} \, dx \)
- \( \displaystyle \int x(4x^2 + 5)^4 \, dx \)
- \( \displaystyle \int \dfrac{1}{(x + 3)^3} \, dx \)
위 연습문제 정답
- \( \dfrac{1}{3} \sin(3x - 2) + C \)
- \( \dfrac{1}{4} e^{4x - 7} + C \)
- \( \dfrac{1}{40} (4x^2 + 5)^5 + C \)
- \( -\dfrac{1}{2(x + 3)^2} + C \)