부분적분법 복습
부분적분법 기법은 함수의 곱을 쉽게 적분하는 데 사용할 수 있습니다. 부분적분법의 핵심 아이디어는 다음과 같이 두 함수 \( u \)와 \( v \)의 곱의 도미증(미분)에서 시작합니다:
\[ \dfrac{d(u \cdot v)}{dx} = \dfrac{du}{dx} v + u \dfrac{dv}{dx} \]위 방정식을 다음과 같이 다시 씁니다:
\[ u \dfrac{dv}{dx} = \dfrac{d(u \cdot v)}{dx} - \dfrac{du}{dx} v \]방정식 양변의 적분을 취합니다:
\[ \int u \dfrac{dv}{dx} \, dx = \int \dfrac{d(u \cdot v)}{dx} \, dx - \int \dfrac{du}{dx} v \, dx \]\( \int \dfrac{d(u \cdot v)}{dx} \, dx = uv \)임을 이용하여 식을 정리하면 부분적분법 공식이 얻어집니다:
\[ \int u \dfrac{dv}{dx} \, dx = u v - \int \dfrac{du}{dx} v \, dx \]참고 피적분 함수에서 어떤 함수를 \( u \)로 선택하고 어떤 함수를 \( \dfrac{dv}{dx} \)로 선택하든, 공식 우변의 적분이 단순해지도록 선택해야 합니다.
상세한 풀이가 포함된 예제
이후 설명에서 \( c \)는 적분상수입니다.
각 예제를 클릭하여 상세한 풀이를 확인하세요.
예제 1: \( \displaystyle \int 3x e^x \, dx \)를 구하세요.
예제 1 풀이:
\( 3 \)은 상수이므로 적분 기호 앞으로 빼낼 수 있습니다.
\( u = x \) 및 \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = 1 \)이고 \( v = \displaystyle \int e^x \, dx = e^x \)입니다. 부분적분법을 적용합니다:
\[ \begin{aligned} \int 3x e^x \, dx &= 3 \int x e^x \, dx \\ &= 3 \left( x e^x - \int 1 \cdot e^x \, dx \right) \\ &= 3x e^x - 3e^x + c \end{aligned} \]예제 2: \( \displaystyle \int x \sin(x) \, dx \)를 구하세요.
예제 2 풀이:
\( u = x \) 및 \( \dfrac{dv}{dx} = \sin(x) \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = 1 \)이고 \( v = -\cos(x) \)입니다. 부분적분법을 적용합니다:
\[ \begin{aligned} \int x \sin(x) \, dx &= x(-\cos(x)) - \int 1 \cdot (-\cos(x)) \, dx \\ &= -x \cos(x) + \int \cos(x) \, dx \\ &= -x \cos(x) + \sin(x) + c \end{aligned} \]예제 3: \( \displaystyle \int x^2 \cos x \, dx \)를 계산하세요.
예제 3 풀이:
\( u = x^2 \) 및 \( \dfrac{dv}{dx} = \cos(x) \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = 2x \)이고 \( v = \sin(x) \)입니다. 부분적분법을 적용합니다:
\[ \int x^2 \cos(x) \, dx = x^2 \sin(x) - 2 \int x \sin(x) \, dx \qquad (I) \]이제 남은 적분인 \( \displaystyle \int x \sin(x) \, dx \)에 부분적분법을 다시 적용합니다. 예제 2에서 구한 바와 같이 \( \displaystyle \int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \sin(x) \)입니다. 이를 다시 대입합니다:
\[ \begin{aligned} &= x^2 \sin(x) - 2(-x \cos(x) + \sin(x)) + c \\ &= x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) - 2\sin(x) + c \end{aligned} \]예제 4: \( \displaystyle \int x \ln x \, dx \)를 구하세요.
예제 4 풀이:
\( u = \ln(x) \) 및 \( \dfrac{dv}{dx} = x \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \)이고 \( v = \dfrac{x^2}{2} \)입니다. 부분적분법을 적용합니다:
\[ \begin{aligned} \int x \ln x \, dx &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x^2}{2} \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \\ &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x}{2} \, dx \\ &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{1}{4} x^2 + c \end{aligned} \]예제 5: \( \displaystyle \int x \cos \left(\dfrac{x}{3}\right) \, dx \)를 계산하세요.
예제 5 풀이:
\( u = x \) 및 \( \dfrac{dv}{dx} = \cos\left(\dfrac{x}{3}\right) \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = 1 \)이고 \( v = 3 \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) \)입니다:
\[ \begin{aligned} \int x \cos \left(\dfrac{x}{3}\right) \, dx &= x \cdot 3 \sin \left(\dfrac{x}{3}\right) - \int 1 \cdot 3 \sin \left(\dfrac{x}{3}\right) dx \\ &= 3x \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) - 3 \left( -3 \cos\left(\dfrac{x}{3}\right) \right) + c \\ &= 3x \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) + 9 \cos\left(\dfrac{x}{3}\right) + c \end{aligned} \]예제 6: 부분적분법을 사용하여 \( \displaystyle \int \ln x \, dx \)를 구하세요.
예제 6 풀이:
먼저 피적분 함수 \( \ln(x) \)를 \( 1 \cdot \ln(x) \)로 변형합니다:
\[ \int \ln(x) \, dx = \int 1 \cdot \ln(x) \, dx \]\( u = \ln(x) \) 및 \( \dfrac{dv}{dx} = 1 \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \)이고 \( v = x \)입니다. 부분적분법을 적용합니다:
\[ \begin{aligned} \int 1 \cdot \ln(x) \, dx &= x \ln(x) - \int x \cdot \left(\dfrac{1}{x}\right) dx \\ &= x \ln(x) - \int 1 \, dx \\ &= x \ln(x) - x + c \end{aligned} \]예제 7: 부분적분법을 사용하여 \( \displaystyle \int x^2 (\ln x)^2 \, dx \)를 구하세요.
예제 7 풀이:
\( \dfrac{dv}{dx} = x^2 \) 및 \( u = (\ln x)^2 \)로 놓으면 \( v = \dfrac{x^3}{3} \)이고 \( \dfrac{du}{dx} = 2 \dfrac{\ln x}{x} \)입니다. 부분적분법을 적용합니다:
\[ \begin{aligned} \int x^2 (\ln x)^2 \, dx &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \int \dfrac{x^3}{3} \left( 2 \dfrac{\ln x}{x} \right) dx \\ &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \dfrac{2}{3} \int x^2 \ln x \, dx \end{aligned} \]이제 \( \int x^2 \ln x \, dx \)에 부분적분법을 한 번 더 적용합니다 (\( w = \ln x, \dfrac{dz}{dx} = x^2 \implies w' = \dfrac{1}{x}, z = \dfrac{x^3}{3} \)):
\[ \begin{aligned} &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \dfrac{2}{3} \left( \dfrac{x^3}{3} \ln x - \int \dfrac{x^3}{3} \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \right) \\ &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \dfrac{2}{9} x^3 \ln x + \dfrac{2}{9} \int x^2 \, dx \\ &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \dfrac{2}{9} x^3 \ln x + \dfrac{2}{27} x^3 + c \end{aligned} \]예제 8: \( \displaystyle \int e^x \sin(2x) \, dx \)를 구하세요.
예제 8 풀이:
\( I = \int e^x \sin(2x) \, dx \)라고 둡니다.
\( v = \sin(2x) \) 및 \( \dfrac{du}{dx} = e^x \)로 놓으면 \( \dfrac{dv}{dx} = 2\cos(2x) \)이고 \( u = e^x \)입니다. 부분적분법을 적용합니다:
\[ \int e^x \sin(2x) \, dx = e^x \sin(2x) - \int e^x \cdot 2\cos(2x) \, dx \] \[ = e^x \sin(2x) - 2 \int e^x \cos(2x) \, dx \]이제 \( \int e^x \cos(2x) \, dx \)에 부분적분법을 다시 적용합니다 (\( w = \cos(2x), \dfrac{dz}{dx} = e^x \implies w' = -2\sin(2x), z = e^x \)):
\[ = e^x \sin(2x) - 2 \left( e^x \cos(2x) - \int e^x(-2\sin(2x)) \, dx \right) \] \[ = e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x) - 4 \int e^x \sin(2x) \, dx \]우변의 적분이 원래의 \( I \)이므로 다음과 같습니다:
\[ I = e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x) - 4I \]\( I \)에 대해 풉니다:
\[ 5I = e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x) \] \[ \int e^x \sin(2x) \, dx = \dfrac{e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x)}{5} + c \]연습문제
적분 공식 모음과 부분적분법을 사용하여 아래의 적분을 구하세요. [참고: 부분적분법을 두 번 이상 사용해야 할 수도 있습니다].
- \( \displaystyle \int x \cos(x) \, dx \)
- \( \displaystyle \int x e^{2x} \, dx \)
- \( \displaystyle \int x^{1/3} \ln x \, dx \)
- \( \displaystyle \int \dfrac{\ln x}{x^2} \, dx \)
- \( \displaystyle \int x^3 \cos x \, dx \)
- \( \displaystyle \int x^2 e^{-3x} \, dx \)
- \( \displaystyle \int e^x \cos(2x) \, dx \)
위 연습문제 정답
- \( x \sin(x) + \cos(x) + c \)
- \( \dfrac{x}{2} e^{2x} - \dfrac{1}{4} e^{2x} + c \)
- \( \dfrac{3}{4} x^{4/3} \ln(x) - \dfrac{9}{16} x^{4/3} + c \)
- \( -\dfrac{\ln x}{x} - \dfrac{1}{x} + c \)
- \( 3(x^2 - 2) \cos(x) + (x^3 - 6x) \sin(x) + c \)
- \( -\dfrac{1}{27} (9x^2 + 6x + 2) e^{-3x} + c \)
- \( \dfrac{1}{5} (e^x \cos(2x) + 2e^x \sin(2x)) + c \)