\( \sin(x) \)와 \( \cos(x) \)의 거듭제곱 곱에서 둘 중 하나의 거듭제곱이 홀수인 적분을 구하는 튜토리얼입니다. 풀이가 포함된 예제와 연습문제가 수록되어 있습니다.
이후 설명에서 \( C \)는 적분상수를 나타냅니다.
상세한 풀이가 포함된 예제
각 예제를 클릭하여 상세한 단계별 풀이를 확인하세요.
예제 1: \( \displaystyle \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx \)를 구하세요.
예제 1 풀이:
핵심 아이디어는 홀수 거듭제곱을 가진 항을 짝수 거듭제곱과 단일 거듭제곱의 곱으로 분리하여 적분식을 다시 쓰는 것입니다:
\[ \sin^3(x) = \sin^2(x) \sin(x) \]따라서 주어진 적분은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx = \int \sin^2(x) \cos^2(x) \sin(x) \, dx \]이제 피타고라스 항등식 \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \)를 이용하여 대입합니다:
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x)) \cos^2(x) \sin(x) \, dx \]\( u = \cos(x) \)라 하면 \( \dfrac{du}{dx} = -\sin(x) \) 또는 \( -du = \sin(x) \, dx \)가 됩니다. 이를 적분에 대입합니다:
\[ = -\int (1 - u^2) u^2 \, du \]전개하고 적분을 계산합니다:
\[ = \int (u^4 - u^2) \, du = \dfrac{1}{5}u^5 - \dfrac{1}{3}u^3 + C \]\( u = \cos(x) \)를 다시 대입합니다:
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx = \dfrac{1}{5}\cos^5(x) - \dfrac{1}{3}\cos^3(x) + C \]예제 2: \( \displaystyle \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) \, dx \)를 구하세요.
예제 2 풀이:
\( \cos^5(x) \)를 \( \cos^4(x) \cos(x) \)로 변형합니다:
\[ \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) \, dx = \int \sin^{12}(x) \cos^4(x) \cos(x) \, dx \]항등식 \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \)을 사용하여 \( \cos^4(x) \)를 \( \sin(x) \)의 거듭제곱으로 나타냅니다:
\[ = \int \sin^{12}(x) (1 - \sin^2(x))^2 \cos(x) \, dx \]\( u = \sin(x) \)라 하면 \( du = \cos(x) \, dx \)가 됩니다. 적분에 대입합니다:
\[ = \int u^{12} (1 - u^2)^2 \, du \]피적분 함수를 전개합니다:
\[ = \int u^{12} (1 - 2u^2 + u^4) \, du = \int (u^{12} - 2u^{14} + u^{16}) \, du \]항별로 적분합니다:
\[ = \dfrac{1}{13}u^{13} - \dfrac{2}{15}u^{15} + \dfrac{1}{17}u^{17} + C \]\( u = \sin(x) \)를 다시 대입합니다:
\[ \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) \, dx = \dfrac{1}{17}\sin^{17}(x) - \dfrac{2}{15}\sin^{15}(x) + \dfrac{1}{13}\sin^{13}(x) + C \]연습문제
다음 적분을 구하세요. 각 연습문제를 클릭하면 단계별 풀이가 표시됩니다.
연습문제 1: \( \displaystyle \int \cos^3(x) \sin^2(x) \, dx \)를 구하세요.
풀이:
\( \cos^3(x) = \cos^2(x)\cos(x) = (1 - \sin^2(x))\cos(x) \)로 변형합니다:
\[ \int \cos^3(x) \sin^2(x) \, dx = \int (1 - \sin^2(x))\sin^2(x) \cos(x) \, dx \]\( u = \sin(x) \), \( du = \cos(x) \, dx \)라 합니다:
\[ = \int (1 - u^2)u^2 \, du = \int (u^2 - u^4) \, du = \dfrac{1}{3}u^3 - \dfrac{1}{5}u^5 + C \]\( u = \sin(x) \)를 다시 대입합니다:
\[ = \dfrac{1}{3}\sin^3(x) - \dfrac{1}{5}\sin^5(x) + C \]연습문제 2: \( \displaystyle \int \sin^3(x) \cos^{14}(x) \, dx \)를 구하세요.
풀이:
\( \sin^3(x) = \sin^2(x)\sin(x) = (1 - \cos^2(x))\sin(x) \)로 변형합니다:
\[ \int \sin^3(x) \cos^{14}(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))\cos^{14}(x) \sin(x) \, dx \]\( u = \cos(x) \), \( du = -\sin(x) \, dx \implies -du = \sin(x) \, dx \)라 합니다:
\[ = -\int (1 - u^2)u^{14} \, du = \int (u^{16} - u^{14}) \, du = \dfrac{1}{17}u^{17} - \dfrac{1}{15}u^{15} + C \]\( u = \cos(x) \)를 다시 대입합니다:
\[ = \dfrac{1}{17}\cos^{17}(x) - \dfrac{1}{15}\cos^{15}(x) + C \]