예제, 상세한 풀이 및 설명을 통해 삼각치환법을 사용하여 적분을 계산합니다. 페이지 하단에는 풀이가 포함된 추가 연습문제도 제시되어 있습니다.
모든 예제와 연습에서 \( c \)는 적분상수를 나타냅니다.
제곱근을 간소화하는 삼각함수 항등식
다음 삼각함수 항등식에서 시작합니다:
\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \qquad (I) \]위 항등식을 다음과 같이 변형합니다:
\[ 1 - \sin^2 x = \cos^2 x \]양변의 제곱근을 취하면 다음과 같습니다:
\[ \sqrt{1 - \sin^2 t} = |\cos t| \qquad (I') \]항등식 \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)의 모든 항을 \( \cos^2 x \)로 나누거나(또는 재배열하여) 다음의 또 다른 항등식을 얻습니다:
\[ \tan^2 x + 1 = \sec^2 x \qquad (II) \]위 항등식 양변의 제곱근을 취하면 다음과 같습니다:
\[ \sqrt{\tan^2 x + 1} = |\sec x| \qquad (II') \]항등식 (II)는 다음과 같이 쓸 수도 있습니다:
\[ \sec^2 x - 1 = \tan^2 x \]위 항등식 양변의 제곱근을 취하면 다음과 같습니다:
\[ \sqrt{\sec^2 x - 1} = |\tan x| \qquad (III') \]유형 A - \( \sqrt{a^2 - b^2 x^2} \) 형태의 표현식을 포함하는 적분 계산
다음 표현식이 주어졌을 때:
\[ \sqrt{a^2 - b^2 x^2} \]제곱근 안에서 \( a^2 \)을 묶어내고 \( |a| \)를 제곱근 밖으로 빼냅니다:
\[ \sqrt{a^2 - b^2 x^2} = \sqrt{a^2 \left( 1 - \left(\dfrac{bx}{a}\right)^2 \right)} = |a| \sqrt{1 - \left(\dfrac{bx}{a}\right)^2} \]다음과 같이 치환합니다:
\[ \sin t = \dfrac{bx}{a} \]그리고 표현식 \( \sqrt{a^2 - b^2 x^2} \)를 다음과 같이 다시 씁니다:
\[ \sqrt{a^2 - b^2 x^2} = |a| \sqrt{1 - \sin^2 t} = |a| |\cos t| \]예제 1: 적분 \( \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - 4x^2}} \, dx \)를 구하세요.
예제 1 풀이:
피적분 함수의 분모에 있는 표현식 \( \sqrt{16 - 4x^2} \)을 다음과 같이 다시 씁니다:
\[ \sqrt{16 - 4x^2} = \sqrt{16\left(1 - \dfrac{x^2}{4}\right)} = 4 \sqrt{1 - \left(\dfrac{x}{2}\right)^2} \]삼각치환법: \( \dfrac{x}{2} = \sin t \) 또는 \( x = 2\sin t \)라 하면 \( \dfrac{dx}{dt} = 2\cos t \) 또는 \( dx = 2\cos t \, dt \)가 되며, 적분은 다음과 같이 변합니다:
\[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - 4x^2}} \, dx = \int \dfrac{(2\sin t)^2}{4\sqrt{1 - \sin^2 t}} (2\cos t) \, dt \]항등식 \( \sqrt{1 - \sin^2 t} = |\cos t| \)를 이용하여 간소화합니다:
\[ = 2 \int \dfrac{\sin^2 t}{|\cos t|} \cos t \, dt \]부정적분이므로 \( \cos t \geq 0 \)이라 가정할 수 있고, 따라서 \( |\cos t| = \cos t \)가 됩니다:
\[ = 2 \int \sin^2 t \, dt \]삼각함수 항등식 \( \sin^2 t = \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2t) \)를 사용합니다:
\[ = 2 \int \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2t) \, dt = \int (1 - \cos 2t) \, dt \]적분을 계산합니다:
\[ = t - \dfrac{1}{2}\sin(2t) + C \]\( \dfrac{x}{2} = \sin t \)이므로 \( t = \arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right) \)입니다. 다시 대입하여 최종 정답을 구합니다:
\[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - 4x^2}} \, dx = \arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{1}{2}\sin\left(2 \arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right) + C \]유형 B - \( \sqrt{a^2 x^2 + b^2} \) 형태의 표현식을 포함하는 적분 계산
다음 표현식이 주어졌을 때:
\[ \sqrt{a^2 x^2 + b^2} \]제곱근 안에서 \( b^2 \)을 묶어내고 \( |b| \)를 제곱근 밖으로 빼냅니다:
\[ \sqrt{a^2 x^2 + b^2} = \sqrt{b^2 \left( \left(\dfrac{ax}{b}\right)^2 + 1 \right)} = |b| \sqrt{\left(\dfrac{ax}{b}\right)^2 + 1} \]다음과 같이 치환합니다:
\[ \tan t = \dfrac{bx}{a} \]그리고 표현식 \( \sqrt{a^2 x^2 + b^2} \)를 다음과 같이 다시 씁니다:
\[ \sqrt{a^2 x^2 + b^2} = |b| \sqrt{\tan^2 t + 1} = |b| |\sec t| \]예제 2: 적분 \( \displaystyle \int \dfrac{\sqrt{25x^2 + 4}}{x^4} \, dx \)를 구하세요.
예제 2 풀이:
분자에 있는 표현식 \( \sqrt{25x^2 + 4} \)를 다음과 같이 다시 씁니다:
\[ \sqrt{25x^2 + 4} = \sqrt{4\left(\dfrac{25x^2}{4} + 1\right)} = 2 \sqrt{\left(\dfrac{5x}{2}\right)^2 + 1} \]삼각치환법: \( \dfrac{5x}{2} = \tan t \) 또는 \( x = \dfrac{2}{5}\tan t \)라 하면 \( dx = \dfrac{2}{5}\sec^2 t \, dt \)가 되며, 적분은 다음과 같이 주어집니다:
\[ \int \dfrac{\sqrt{25x^2 + 4}}{x^4} \, dx = \int \dfrac{2\sqrt{\tan^2 t + 1}}{\left(\dfrac{2}{5}\tan t\right)^4} \left(\dfrac{2}{5}\sec^2 t\right) dt \]\( \sqrt{\tan^2 t + 1} = |\sec t| \)를 이용하여 간소화합니다:
\[ = \dfrac{125}{4} \int \dfrac{|\sec t|}{\tan^4 t} \sec^2 t \, dt \]\( \sec t \geq 0 \)이라 가정하면 \( |\sec t| = \sec t \)입니다:
\[ = \dfrac{125}{4} \int \dfrac{\sec^3 t}{\tan^4 t} \, dt \]\( \sin t \)와 \( \cos t \) 형태로 고쳐 씁니다:
\[ = \dfrac{125}{4} \int \dfrac{\cos t}{\sin^4 t} \, dt \]치환적분법: \( w = \sin t \)라 하면 \( dw = \cos t \, dt \)입니다:
\[ = \dfrac{125}{4} \int \dfrac{1}{w^4} \, dw \]거듭제곱 법칙을 사용하여 계산합니다:
\[ = -\dfrac{125}{12 w^3} + C \]\( w = \sin t \) 및 \( t = \arctan\left(\dfrac{5x}{2}\right) \)를 다시 대입합니다:
\[ = -\dfrac{125}{12} \cdot \dfrac{1}{\left(\sin\left(\arctan\left(\dfrac{5x}{2}\right)\right)\right)^3} + C \]항등식 \( \sin(\arctan(x)) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \)을 사용하여 다음과 같이 간소화합니다:
\[ = -\dfrac{\sqrt{(25x^2 + 4)^3}}{12x^3} + C \]유형 C - \( \sqrt{a^2 x^2 - b^2} \) 형태의 표현식을 포함하는 적분 계산
다음 표현식이 주어졌을 때:
\[ \sqrt{a^2 x^2 - b^2} \]제곱근 안에서 \( b^2 \)을 묶어내고 \( |b| \)를 제곱근 밖으로 빼냅니다:
\[ \sqrt{a^2 x^2 - b^2} = \sqrt{b^2 \left( \left(\dfrac{ax}{b}\right)^2 - 1 \right)} = |b| \sqrt{\left(\dfrac{ax}{b}\right)^2 - 1} \]다음과 같이 치환합니다:
\[ \sec t = \dfrac{bx}{a} \]그리고 표현식 \( \sqrt{a^2 x^2 - b^2} \)를 다음과 같이 다시 씁니다:
\[ \sqrt{a^2 x^2 - b^2} = |b| \sqrt{\sec^2 t - 1} = |b| |\tan t| \]예제 3: 적분 \( \displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{4x^2 - 9}} \, dx \)를 구하세요.
예제 3 풀이:
분모에 있는 표현식 \( \sqrt{4x^2 - 9} \)를 다음과 같이 다시 씁니다:
\[ \sqrt{4x^2 - 9} = \sqrt{9\left(\dfrac{4x^2}{9} - 1\right)} = 3 \sqrt{\left(\dfrac{2x}{3}\right)^2 - 1} \]삼각치환법: \( \dfrac{2x}{3} = \sec t \) 또는 \( x = \dfrac{3}{2}\sec t \)라 하면 \( dx = \dfrac{3}{2}\sec t \tan t \, dt \)가 되며, 적분은 다음과 같습니다:
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{4x^2 - 9}} \, dx = \int \dfrac{1}{3\sqrt{\sec^2 t - 1}} \left(\dfrac{3}{2}\sec t \tan t\right) dt \]\( \sqrt{\sec^2 t - 1} = |\tan t| \)를 이용하여 간소화합니다:
\[ = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{|\tan t|} \sec t \tan t \, dt \]\( \tan t \geq 0 \)이라 가정하면 \( |\tan t| = \tan t \)입니다:
\[ = \dfrac{1}{2} \int \sec t \, dt \]이는 표준적인 잘 알려진 적분입니다:
\[ = \dfrac{1}{2} \ln|\tan t + \sec t| + C \]\( \dfrac{2x}{3} = \sec t \)이므로 \( t = \text{arcsec}\left(\dfrac{2x}{3}\right) \)입니다. 다시 대입합니다:
\[ = \dfrac{1}{2} \ln\left|\tan\left(\text{arcsec}\left(\dfrac{2x}{3}\right)\right) + \dfrac{2x}{3}\right| + C \]항등식 \( \tan(\text{arcsec}(x)) = \sqrt{x^2 - 1} \)을 사용하여 다음과 같이 간소화합니다:
\[ = \dfrac{1}{2} \ln\left|\sqrt{\left(\dfrac{2x}{3}\right)^2 - 1} + \dfrac{2x}{3}\right| + C \]연습문제
다음 적분을 구하세요. 각 연습문제를 클릭하면 단계별 풀이가 표시됩니다.
연습문제 1: \( \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{9 - 2x^2}} \, dx \)를 구하세요.
풀이:
분모를 \( \sqrt{9\left(1 - \dfrac{2x^2}{9}\right)} = 3\sqrt{1 - \left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}x\right)^2} \)로 다시 씁니다.
\( \dfrac{\sqrt{2}}{3}x = \sin t \implies x = \dfrac{3}{\sqrt{2}}\sin t \), \( dx = \dfrac{3}{\sqrt{2}}\cos t \, dt \)로 놓습니다.
대입하여 간소화하면 다음을 얻습니다:
\[ \dfrac{9}{4\sqrt{2}} \left( \arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}x\right) - \dfrac{1}{2}\sin\left(2\arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}x\right)\right) \right) + C \]연습문제 2: \( \displaystyle \int \dfrac{\sqrt{9x^2 + 1}}{x^4} \, dx \)를 구하세요.
풀이:
\( 3x = \tan t \implies x = \dfrac{1}{3}\tan t \), \( dx = \dfrac{1}{3}\sec^2 t \, dt \)로 놓습니다.
적분에 대입하고 간소화하면 다음과 같습니다:
\[ -\dfrac{(1 + 9x^2)^{3/2}}{3x^3} + C \]연습문제 3: \( \displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{9x^2 - 36}} \, dx \)를 구하세요.
풀이:
분모를 \( \sqrt{9(x^2 - 4)} = 3\sqrt{x^2 - 4} \)로 다시 씁니다.
\( \dfrac{x}{2} = \sec t \implies x = 2\sec t \), \( dx = 2\sec t \tan t \, dt \)로 놓습니다.
적분을 계산하면 다음과 같습니다:
\[ \dfrac{1}{3}\ln\left(\dfrac{\left|\sqrt{x^2 - 4} + x\right|}{2}\right) + C \]