변화율 미적분학 문제와 그 상세한 풀이가 아래에 제시되어 있습니다.
아래 내용에서 \( C \)는 해당하는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
풀어본 예제
문제 1
직육면체 물탱크(아래 그림 참조)가 일정한 비율인 \( 20 \) 리터/초로 채워지고 있습니다. 탱크 밑면의 치수는 너비 \( w = 1 \)미터, 길이 \( L = 2 \)미터입니다. 탱크 내 물의 높이의 변화율은 얼마입니까? (답을 cm/sec로 표현하세요).
문제 1 풀이 보기
탱크 속 물의 부피 \( V \)는 다음과 같습니다:
\[ V = w \times L \times H \]부피의 변화율 \( \dfrac{dV}{dt} = 20 \) 리터/초임을 알고 있습니다. 우리가 구해야 할 것은 높이 \( H \)의 변화율인 \( \dfrac{dH}{dt} \)입니다. \( V \)와 \( H \)는 시간 \( t \)의 함수이므로, 부피 공식의 양변을 \( t \)에 대해 미분합니다:
\[ \frac{dV}{dt} = w \times L \times \frac{dH}{dt} \]참고로 \( w \)와 \( L \)은 시간에 따라 변하지 않으므로 미분하는 동안 상수로 취급됩니다.
\( \dfrac{dH}{dt} \)에 대해 풉니다:
\[ \frac{dH}{dt} = \frac{\dfrac{dV}{dt}}{w \times L} \]단위를 센티미터와 세제곱센티미터로 변환합니다:
- \( 1 \) 리터 = \( 1 \) 세제곱데시미터 = \( 1000 \; \text{cm}^3 \)
- \( 1 \) 미터 = \( 100 \; \text{cm} \)
값을 대입합니다:
\[ \frac{dH}{dt} = \frac{20 \times 1000 \; \text{cm}^3/\text{sec}}{100 \; \text{cm} \times 200 \; \text{cm}} = \frac{20,000}{20,000} = 1 \; \text{cm/sec} \]문제 2
비행기가 일직선 방향으로 일정한 고도 \( 5000 \) 미터를 유지하며 비행하고 있습니다(아래 그림 참조). 고정된 관측 지점에서 비행기를 바라보는 앙각은 \( a \)입니다. 비행기의 속도는 \( 500 \) km/hr입니다. 앙각이 \( 25^\circ \)일 때, 각 \( a \)의 변화율은 얼마입니까? (답을 도/초로 표현하고 소수점 첫째 자리까지 반올림하세요).
문제 2 풀이 보기
비행기는 \( \dfrac{dx}{dt} = 500 \; \text{km/hr} \)의 비율로 수평 방향으로 비행하고 있습니다. 삼각법을 사용하여 각 \( a \), 고도 \( h \), 수평 거리 \( x \)를 연관시킵니다:
\[ \tan a = \frac{h}{x} \]\( a \)와 \( x \)는 시간 \( t \)의 함수이므로 양변을 \( t \)에 대해 미분합니다:
\[ \frac{d(\tan a)}{dt} = \frac{d\left(\frac{h}{x}\right)}{dt} \]연쇄 법칙을 사용합니다:
\[ \frac{d(\tan a)}{dt} = (\sec^2 a) \frac{da}{dt} \] \[ \frac{d\left(\frac{h}{x}\right)}{dt} = h \left(-\frac{1}{x^2}\right) \frac{dx}{dt} \quad (\text{since } h \text{ is constant}) \]두 도함수를 서로 같습니다:
\[ (\sec^2 a) \frac{da}{dt} = -\frac{h}{x^2} \frac{dx}{dt} \implies \frac{da}{dt} = \frac{-\frac{h}{x^2} \frac{dx}{dt}}{\sec^2 a} \]\( \tan a = \dfrac{h}{x} \)로부터 \( x = \dfrac{h}{\tan a} \)입니다. \( x^2 = \dfrac{h^2}{\tan^2 a \)를 대입합니다:
\[ \frac{da}{dt} = \frac{-\frac{h \tan^2 a}{h^2} \frac{dx}{dt}}{\sec^2 a} = -\frac{\tan^2 a}{h} \frac{dx}{dt} \cdot \cos^2 a = -\frac{\sin^2 a}{h} \frac{dx}{dt} \]단위 변환(\( 1 \; \text{km} = 1000 \; \text{m} \), \( 1 \; \text{hour} = 3600 \; \text{sec} \)), 속도 \( \dfrac{dx}{dt} = 500 \; \text{km/hr} = \dfrac{500,000 \; \text{m}}{3600 \; \text{sec}} \), 고도 \( h = 5000 \; \text{m} \), 그리고 \( a = 25^\circ \)를 사용합니다:
\[ \frac{da}{dt} = -\frac{\sin^2(25^\circ)}{5000} \left(\frac{500,000}{3600}\right) \approx -0.005 \; \text{radians/sec} \]라디안을 도로 변환합니다 (\( 180/\pi \)):
\[ \frac{da}{dt} = -0.005 \times \frac{180}{\pi} \approx -0.2865 \approx -0.3 \; \text{degrees/sec} \]문제 3
저항이 각각 \( R_1 \)과 \( R_2 \)인 두 저항이 아래 그림과 같이 병렬로 연결되어 있을 때, 이들의 전기적 거동은 다음을 만족하는 저항 \( R \)인 하나의 저항과 등가입니다:
\[ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \]\( R_1 \)이 시간의 흐름에 따라 \( \dfrac{dR_1}{dt} \)의 비율로 변하고 \( R_2 \)가 일정할 때, 변화율 \( \dfrac{dR}{dt} \)를 \( \dfrac{dR_1}{dt} \), \( R_1 \), \( R_2 \)로 표현하세요.
문제 3 풀이 보기
시간 \( t \)에 대해 병렬 저항 방정식의 양변을 미분합니다 (\( R_2 \)는 상수로 취급):
\[ -\frac{1}{R^2} \frac{dR}{dt} = -\frac{1}{R_1^2} \frac{dR_1}{dt} \]\( \dfrac{dR}{dt} \)에 대해 정리합니다:
\[ \frac{dR}{dt} = \left(\frac{R}{R_1}\right)^2 \frac{dR_1}{dt} \]\( \dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} \)로부터 \( R \)을 명시적으로 표현합니다:
\[ R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} \]미분 방정식에 \( R \)을 대입합니다:
\[ \frac{dR}{dt} = \left(\frac{\frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}}{R_1}\right)^2 \frac{dR_1}{dt} = \left(\frac{R_2}{R_1 + R_2}\right)^2 \frac{dR_1}{dt} \]연습문제 및 풀이
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반지름 \( R \)이 \( \dfrac{dR}{dt} \)와 같은 비율로 증가하는 풍선이 부풀려질 때, 풍선 부피의 변화율 \( \dfrac{dV}{dt} \)에 대한 공식을 구하세요.
연습문제 1 풀이 보기
\[ V = \frac{4}{3}\pi R^3 \implies \frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi (3R^2) \frac{dR}{dt} = 4\pi R^2 \frac{dR}{dt} \] -
한 변의 길이 \( x \) 센티미터가 \( 2 \; \text{cm/sec} \)의 비율로 변하는 정사각형의 넓이 \( A \)의 변화율 \( \dfrac{dA}{dt} \)에 대한 공식을 구하세요.
연습문제 2 풀이 보기
\[ A = x^2 \implies \frac{dA}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} = 2x(2) = 4x \; \text{cm}^2/\text{sec} \] -
두 자동차가 동일한 지점에서 출발하여 일정한 속력 \( s_1 \)과 \( s_2 \)로 \( 90^\circ \)의 각도를 이루는 두 방향으로 이동합니다. 두 자동차 사이의 거리 \( D \)의 변화율에 대한 공식을 구하세요.
연습문제 3 풀이 보기
\[ D^2 = x^2 + y^2 \] 시간 \( t \)에 대해 음함수 미분: \[ 2D \frac{dD}{dt} = 2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} \implies \frac{dD}{dt} = \frac{x s_1 + y s_2}{D} \] \( x = s_1 t \), \( y = s_2 t \), 그리고 \( D = \sqrt{(s_1 t)^2 + (s_2 t)^2} = t\sqrt{s_1^2 + s_2^2} \)이므로: \[ \frac{dD}{dt} = \sqrt{s_1^2 + s_2^2} \]