미적분학에서 구간 \( [a, b] \)에 대한 함수 \( f(x) \)의 적분은 리만 합의 극한으로 정의됩니다.
아래 내용에서 \( C \)는 해당하는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
리만 합
구간 \( [a, b] \)를 각각 너비가 \( \Delta x = \dfrac{b - a}{n} \)인 \( n \)개의 소구간으로 나눕니다. 그런 다음 \( i = 1, 2, \ldots, n \)에 대해 각 소구간 \( [x_{i-1}, x_i] \)에서 표본 점 \( x_i \)를 선택할 수 있습니다.
이 분할과 표본 점 선택과 관련된 리만 합은 다음과 같이 주어집니다:
\[ R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x \]극한으로서의 적분
\( n \)이 무한대에 가까워질 때 리만 합의 극한은 다음과 같이 표기되는 \( [a, b] \)에서 \( f(x) \)의 정적분으로 정의됩니다:
\[ \int_a^b f(x) \; dx = \lim_{n\to\infty} R_n = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x \]