예제가 포함된 테일러 및 맥클로린 급수

미적분학 튜토리얼: 다항식 근사 및 멱급수 전개

주어진 \( x \) 값에서 함수를 멱급수로 전개하고 근사하기 위해 테일러 및 맥클로린 급수를 사용하는 방법이 제시됩니다. 이 급수들은 계산기에 프로그래밍하기 더 쉬운 생성 함수의 유용한 다항식 근사를 제공합니다. 예제, 질문, 그리고 그에 대한 풀이가 포함되어 있습니다.

아래 내용에서 \( C \)는 해당하는 경우 적분 상수를 나타냅니다.

테일러 및 맥클로린 급수의 정의

\( a \)를 포함하는 구간에서 모든 차수의 도함수가 정의되는 함수 \( f \)에 대하여, \( x = a \)에서의 함수 \( f \)의 테일러 급수는 다음과 같이 주어집니다:

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \dots \]

여기서 \( f'(a), f''(a), \dots, f^{(n)}(a), \dots \)는 \( x = a \)에서 평가된 \( f \)의 도함수들입니다.

함수 \( f \)의 맥클로린 급수는 \( x = 0 \)을 중심으로 하는 테일러 급수이며 다음과 같이 주어집니다:

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{0!} x^k = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \dots \]

테일러 및 맥클로린 급수는 무한하지만, \( n \)개의 항으로 잘라내어 다음과 같은 테일러 다항식을 얻을 수 있습니다:

\[ P_n(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \]

아래에서 제시되는 많은 예제와 연습문제를 확인하고 새로운 문제를 생성하는 데 사용할 수 있는 온라인 테일러 급수 계산기를 이용할 수 있습니다.

테일러 및 맥클로린 급수 전개 예제

예제 1

a) \( x = \pi/2 \)에서 \( f(x) = \sin(x) \)가 생성하는 4차 테일러 다항식 \( P_4(x) \)를 구하세요.
b) \( \pi/2 \)를 포함하는 구간에서 \( \sin(x) \)와 \( P_4(x) \)를 그리고 두 그래프를 비교하세요.

예제 1 풀이 보기

a) 4차 테일러 다항식은 다음과 같이 주어집니다:

\[ P_4(x) = f(\pi/2) + f'(\pi/2)(x-\pi/2) + \frac{f''(\pi/2)}{2!}(x-\pi/2)^2 + \frac{f^{(3)}(\pi/2)}{3!}(x-\pi/2)^3 + \frac{f^{(4)}(\pi/2)}{4!}(x-\pi/2)^4 \]

\( f(x) = \sin(x) \)의 처음 4차까지의 도함수를 구합니다:

  • \( f(x) = \sin(x) \implies f(\pi/2) = 1 \)
  • \( f'(x) = \cos(x) \implies f'(\pi/2) = 0 \)
  • \( f''(x) = -\sin(x) \implies f''(\pi/2) = -1 \)
  • \( f^{(3)}(x) = -\cos(x) \implies f^{(3)}(\pi/2) = 0 \)
  • \( f^{(4)}(x) = \sin(x) \implies f^{(4)}(\pi/2) = 1 \)

\( P_4(x) \)에 대입합니다:

\[ P_4(x) = 1 + 0 - \frac{1}{2}(x-\pi/2)^2 + 0 + \frac{1}{24}(x-\pi/2)^4 = 1 - \frac{1}{2}(x-\pi/2)^2 + \frac{1}{24}(x-\pi/2)^4 \]

b) \( \sin(x) \)와 그 4차 테일러 다항식의 그래프를 비교해 보면, 두 곡선이 \( x = \pi/2 \) 근처에서 밀접하게 일치하여 \( P_4(x) \)가 정확한 국소 근사를 제공함을 확인할 수 있습니다.

sin(x)와 테일러 전개 예제 1을 비교하는 그래프
그림 1. \( \sin(x) \)와 \( P_4(x) \)의 비교

예제 2

a) \( x = 1 \)에서 \( f(x) = \ln(x) \)가 생성하는 5차 테일러 다항식 \( P_5(x) \)를 구하세요.
b) \( 1 \)을 포함하는 구간에서 \( \ln(x) \)와 \( P_5(x) \)를 그리고 두 그래프를 비교하세요.
c) 아래 표에서 \( P_5(x) \)와 \( \ln(x) \)를 평가하고 해당 값들을 비교하세요.

\( P_5(x) \)\( \ln(x) \)
\( P_5(1.01) \)\( \ln(1.01) \)
\( P_5(0.99) \)\( \ln(0.99) \)
\( P_5(1.1) \)\( \ln(1.1) \)
\( P_5(0.9) \)\( \ln(0.9) \)
\( P_5(1.5) \)\( \ln(1.5) \)
\( P_5(0.5) \)\( \ln(0.5) \)
\( P_5(1.8) \)\( \ln(1.8) \)
\( P_5(0.2) \)\( \ln(0.2) \)
예제 2 풀이 보기

a) \( x = 1 \)에서의 5차 테일러 다항식은 다음과 같습니다:

\[ P_5(x) = f(1) + f'(1)(x-1) + \frac{f''(1)}{2!}(x-1)^2 + \frac{f^{(3)}(1)}{3!}(x-1)^3 + \frac{f^{(4)}(1)}{4!}(x-1)^4 + \frac{f^{(5)}(1)}{5!}(x-1)^5 \]

\( f(x) = \ln(x) \)의 처음 5차까지의 도함수를 구합니다:

  • \( f(x) = \ln(x) \implies f(1) = 0 \)
  • \( f'(x) = \frac{1}{x} \implies f'(1) = 1 \)
  • \( f''(x) = -\frac{1}{x^2} \implies f''(1) = -1 \)
  • \( f^{(3)}(x) = \frac{2}{x^3} \implies f^{(3)}(1) = 2 \)
  • \( f^{(4)}(x) = -\frac{6}{x^4} \implies f^{(4)}(1) = -6 \)
  • \( f^{(5)}(x) = \frac{24}{x^5} \implies f^{(5)}(1) = 24 \)

\( P_5(x) \)에 대입하고 정리합니다:

\[ P_5(x) = (x-1) - \frac{1}{2}(x-1)^2 + \frac{1}{3}(x-1)^3 - \frac{1}{4}(x-1)^4 + \frac{1}{5}(x-1)^5 = \frac{1}{5}x^5 - \frac{5}{4}x^4 + \frac{10}{3}x^3 - 5x^2 + 5x - \frac{137}{60} \]

b) 그래프를 보면 \( P_5(x) \)가 \( x = 1 \) 근처에서 \( \ln(x) \)를 잘 근사함을 알 수 있습니다.

ln(x)와 테일러 전개 예제 2를 비교하는 그래프
그림 2. \( \ln(x) \)와 \( P_5(x) \)의 비교

c) 평가 표 비교:

근사값 \( P_5(x) \)정확한 값 \( \ln(x) \)
\( P_5(1.01) = 0.00995 \)\( \ln(1.01) = 0.00995 \)
\( P_5(0.99) = -0.01005 \)\( \ln(0.99) = -0.01005 \)
\( P_5(1.1) = 0.09531 \)\( \ln(1.1) = 0.09531 \)
\( P_5(0.9) = -0.10536 \)\( \ln(0.9) = -0.10536 \)
\( P_5(1.5) = 0.40729 \)\( \ln(1.5) = 0.40546 \)
\( P_5(0.5) = -0.68854 \)\( \ln(0.5) = -0.69314 \)
\( P_5(1.8) = 0.61380 \)\( \ln(1.8) = 0.58778 \)
\( P_5(0.2) = -1.45860 \)\( \ln(0.2) = -1.60943 \)

다항식 \( P_5(x) \)는 \( x = 1 \)에 가까운 값들에 대해 훌륭한 근사값을 제공합니다.

예제 3

a) \( f(x) = e^x \)가 생성하는 맥클로린 급수를 구하세요.
b) 2개, 3개, 4개, 5개, 그리고 6개의 항을 포함하는 맥클로린 급수를 \( 0 \)을 포함하는 구간에서 그리세요.

예제 3 풀이 보기

a) 맥클로린 급수는 다음과 같이 주어집니다:

\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \dots \]

\( x = 0 \)에서 평가된 \( f(x) = e^x \)의 모든 도함수가 \( 1 \)과 같으므로:

\[ 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \dots + \frac{1}{n!}x^n + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \]

b) 다양한 차수의 다항식들:

  • \( P_1(x) = 1 + x \)
  • \( P_2(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 \)
  • \( P_3(x) = 1 + x + \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{6}x^3 \)
  • \( P_4(x) = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4 \)
  • \( P_5(x) = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{24}x^4 + \frac{1}{120}x^5 \)
다양한 차수의 맥클로린 급수와 함수 e^x의 그래프
그림 3. \( e^x \)에 대한 다양한 차수의 맥클로린 다항식 그래프

질문

파트 A

주어진 \( x \) 값에서 \( f \)가 생성하는 4차 테일러 다항식을 구하세요:

  1. \( f(x) = e^{-x} \), at \( x = 2 \)
  2. \( f(x) = \sin(x/2) \), at \( x = \pi \)

파트 B

다음 함수들의 맥클로린 급수를 구하세요:

  1. \( f(x) = \cos(x + \pi/2) \)
  2. \( f(x) = e^x + e^{-x} \)
  3. \( f(x) = e^{-x^2} \)
  4. \( f(x) = \sin(x) \)
  5. \( f(x) = e^x - e^{-x} \)

파트 C

\( x = 0 \)에서 \( f(x) = \sin(x)e^x \)가 생성하는 5차 테일러 다항식을 구하고, 동일한 좌표계에서 \( f \)와 테일러 다항식을 그리세요.

위 질문에 대한 풀이

파트 A

  1. \( f(x) = e^{-x} \implies f'(x) = -e^{-x}, \, f''(x) = e^{-x}, \, f^{(3)}(x) = -e^{-x}, \, f^{(4)}(x) = e^{-x} \). \( x = 2 \)에서:
    \[ P_4(x) = \frac{1}{e^2} - \frac{1}{e^2}(x-2) + \frac{1}{2e^2}(x-2)^2 - \frac{1}{6e^2}(x-2)^3 + \frac{1}{24e^2}(x-2)^4 \] \[ = \frac{x^4}{24e^2} - \frac{x^3}{2e^2} + \frac{5x^2}{2e^2} - \frac{19x}{3e^2} + \frac{7}{e^2} \]
  2. \( f(x) = \sin(x/2) \implies f'(x) = \frac{1}{2}\cos(x/2), \, f''(x) = -\frac{1}{4}\sin(x/2), \, f^{(3)}(x) = -\frac{1}{8}\cos(x/2), \, f^{(4)}(x) = \frac{1}{16}\sin(x/2) \). \( x = \pi \)에서:
    \[ P_4(x) = 1 - \frac{1}{8}(x-\pi)^2 + \frac{1}{384}(x-\pi)^4 \] \[ = \frac{x^4}{384} - \frac{\pi x^3}{96} - \frac{x^2}{8} + \frac{\pi^2 x^2}{64} + \frac{\pi x}{4} - \frac{\pi^3 x}{96} - \frac{48\pi^2 + \pi^4 + 384}{384} \]

파트 B

  1. \( f(x) = \cos(x+\pi/2) = -\sin(x) \implies -x + \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{120}x^5 + \frac{1}{5040}x^7 - \frac{1}{362880}x^9 + \dots \)
  2. \( f(x) = e^x + e^{-x} \implies 2 + x^2 + \frac{1}{12}x^4 + \frac{1}{360}x^6 + \frac{1}{20160}x^8 + \dots \)
  3. \( f(x) = e^{-x^2} \implies 1 - x^2 + \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{6}x^6 + \frac{1}{24}x^8 + \dots \)
  4. \( f(x) = \sin(x) \implies x - \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{120}x^5 - \frac{1}{5040}x^7 + \frac{1}{362880}x^9 + \dots \)
  5. \( f(x) = e^x - e^{-x} \implies 2x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{60}x^5 + \frac{1}{2520}x^7 + \frac{1}{181440}x^9 + \dots \)

파트 C

\( x = 0 \)에서의 \( f(x) = \sin(x)e^x \)에 대하여:

\[ P_5(x) = x + x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{30}x^5 \]
테일러 다항식 P_5(x)와 함수 sin(x)e^x의 그래프
그림 4. \( \sin(x)e^x \)와 그 테일러 다항식 \( P_5(x) \)의 비교

기타 참고자료 및 링크

  1. University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
  2. Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
  3. Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
  4. 온라인 테일러 급수 계산기
  5. 다항식 소개
  6. 푸리에 급수 튜토리얼
  7. AnalyzeMath 홈 페이지