예제가 있는 Taylor 및 Maclaurin 시리즈

주어진 \( x \) 값에서 멱급수로서 함수를 확장하고 근사화하기 위해 Taylor 및 Maclaurin 급수를 사용하는 방법이 제시됩니다. 이 시리즈는 유용한 다항식을 제공합니다. 계산기에서 프로그래밍하기 더 쉬운 생성 함수의 근사치입니다. 예시와 질문, 해결책이 포함되어 있습니다.

Taylor 및 Maclaurin 계열의 정의

\( a \)를 포함하는 구간에 정의된 모든 차수의 도함수를 갖는 함수 \( f \)에 대해 \( x = a \)에서 함수 \( f \)의 테일러 급수는 다음과 같이 제공됩니다. [1]
\( \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^k(a)}{k!} (x-a)^k = f(a) + f'(a) (x-a) + \dfrac {f''(a)}{2!} (x-a)^2 + ... + \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n + ... \)
여기서 \( f'(a), f''(a), ... , f^{(n)}(a) ... \) \( x = a\)에서 평가된 \( f \)의 도함수는 다음과 같습니다.

함수의 매클로린 급수 \( f \)는 \( x = 0 \)에서 Taylor 급수이며 다음과 같이 제공됩니다.
\( \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^k(0)}{k!} x^k = f(0) + f'(0) x + \dfrac{f'' (0)}{2!} x^2 + ... + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + ... \)

Taylor 및 Maclaurin 계열은 무한하지만 \( n \) 항으로 잘릴 수 있으므로 Taylor 계열은 다음과 같이 주어진 Taylor 다항식입니다. \( P_n(x) = f(a) + f'(a) (x-a) + \dfrac{f''(a)}{2!} (x-a)^2 + ... + \dfrac{f^ {(n)}(a)}{n!} (x-a)^n \)
온라인 온라인 Taylor 계열 계산기가 포함되어 있으며 많은 예를 확인하는 데 사용할 수 있습니다. 아래 제시된 연습문제는 다른 많은 문제를 생성하고 확인하는 데에도 사용될 수 있습니다.

Taylor 및 Maclaurin 급수 전개의 예

예시 1
a) \( x = \pi/2 \)에서 \( f(x) = \sin(x) \)에 의해 생성된 테일러 다항식 \( P_4(x) \)(4차)를 찾습니다.
b) 그래프 계산기를 사용하여 \( \pi/2 \)를 포함하는 구간에서 \( \sin(x) \) 및 \( P_4(x) \)를 그래프로 표시하고 두 그래프를 비교합니다.
예제 1에 대한 해결책
a)
\( f \)의 차수 4의 테일러 급수는 다음과 같이 제공됩니다.
\( P_4(x) = f(\pi/2) + f'(\pi/2) (x-\pi/2) + \dfrac{f''(\pi/2)}{2!} (x-\pi/2)^2 + \dfrac{f^{(3)}(\pi/2))}{3!} (x- \pi/2)^3 + \dfrac{f^{(4)}(\pi/2))}{4!} (x- \pi/2)^4 \)
의 처음 4개 도함수를 계산합니다. \( f \)
\( f(x) = \sin(x) \) ,   \( f'(x) = \cos(x) \) ,   \( f''(x) = -\sin(x) \) ,
\( f^{(3)}(x) = -\cos(x) \)   \( f^{(4)}(x) = \sin(x) \)
\( x = \pi/2 \)에서 \( f \)와 \( f \)의 처음 4개 도함수를 계산합니다.
\( f(\pi/2) = \sin(\pi/2) = 1 \)  ,  \( f'(\pi/2) = \cos(\pi/2) = 0 \) ,
\( f''(\pi/2) = - \sin(\pi/2) = -1 \) , \( f^{(3)}(\pi/2) = -\cos(\pi/2) = 0 \)   ,  
\( f^{(4)}(\pi/2) = \sin(\pi/2) = 1 \) ,

위에 주어진 \( P_4(x) \)로 대체
\( P_4(x) = f(a) + f'(a) (x-\pi/2) + \dfrac{f''(a)}{2!} (x-\pi/2)^2 + \dfrac{f^{(3)}(\pi/2))}{3!} (x- \pi/2)^3 + \dfrac{f^{(4)}(\pi/2))}{4!} (x- \pi/2)^4 \\ \quad = 1 - \dfrac{1}{2} (x-\pi/2)^2 + \dfrac{1}{24} (x- \pi/2)^4\)
b)
\( \sin(x) \)의 그래프와 차수의 Taylor 급수 \( 4 \)를 비교하면 두 그래프가 매우 가깝기 때문에 \( P_4(x) \)를 사용하여 \( \sin(x) \) \(\pi/2\)를 포함하는 간격 내에서.

예시 2
a) \( x = 1 \)에서 \( f(x) = \ln(x) \)에 의해 생성된 테일러 다항식 \( P_5(x) \)(5차)을 찾습니다.
b) 그래프 계산기를 사용하여 \( 1 \)을 포함하는 구간에서 \( \ln(x) \) 및 \( P_5(x) \)를 그래프로 표시하고 두 그래프를 비교합니다.
c) 아래 표의 \(P_5(x)\)와 \(\ln(x)\)를 평가하고 해당 값을 비교합니다.

예시 3
a) \( f(x) = e^x \)에 의해 생성된 매클로린 급수를 찾습니다.
b) 그래프 계산기를 사용하여 2, 3, 4, 5 및 6개의 항이 있는 \( 0 \)을 포함하는 간격으로 매클로린 급수를 그래프로 표시합니다.

예제 3에 대한 해결책
a)
\( f \)의 매클로린 급수는 다음과 같이 제공됩니다.
\( \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{f^k(0)}{k!} x^k = f(0) + f'(0) x + \dfrac{f''(0)}{2!} x^2 + ... + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + ... \)
파생 상품을 계산합니다 \( f(x) = e^x\)
\( f(x) = e^x \) ,   \( f'(x) = e^x \) ,   \( f''(x) = e^x \) ,
\( f^{(n)}(x) = e^x \) 모든 \(n \ge 3\)에 대해
다음에서 함수와 그 파생물을 평가합니다 \( x = 0 \)
\( f(0) = 1 \) ,   \( f'(0) = 1 \) ,   \( f''(0) = 1 \) ,
\( f^{(n)}(0) = 1 \) 모든 \(n \ge 3\)에 대해
위의 계열을 대체하여 다음의 Maclaurin 계열을 얻습니다. \( f(x) = e^x \)
\( 1 + x + \dfrac{1}{2!} x^2 + ... + \dfrac{1}{n!} x^n + ... \)
b)
2, 3, 4, 5 및 6개의 항을 갖는 매클로린 급수는 다음과 같이 제공됩니다.
\( P_1(x) = 1 + x \)
\( P_2(x) = 1 + x + \dfrac{1}{2} x^2 \)
\( P_3(x) = 1 + x + \dfrac{1}{2} x^2 + \dfrac{1}{6} x^3 \)
\( P_4(x) = 1 + x + \dfrac{1}{2!} x^2 + \dfrac{1}{6} x^3 + \dfrac{1}{24} x^4\)
\( P_5(x) = 1 + x + \dfrac{1}{2!} x^2 + \dfrac{1}{6} x^3 + \dfrac{1}{24} x^4 + \dfrac{1}{120} x^5 \)
위의 5개 다항식은 주어진 함수 \( f(x) = e^x \)와 함께 아래 그래프로 표시됩니다. \( x = 0 \) 주변의 근사치는 계열의 항 수가 증가함에 따라 더 좋아집니다.

질문

Part A
주어진 값 \( x \)에서 \( f \)에 의해 생성된 \( 4 \) 차수의 Taylor 다항식을 찾습니다.
a) \( f(x) = e^{-x} \) , at \( x = 2 \)
b) \( f(x) = \sin(x/2) \) , at \( x = \pi \)

Part B
함수에 대한 Maclaurin 급수 찾기
a) \( f(x) = \cos(x+\pi/2) \)
b) \( f(x) = e^x + e^{-x} \)
c) \( f(x) = e^{-x^2} \)
d) \( f(x) = \sin(x) \)
e) \( f(x) = e^x - e^{-x} \)

Part C
\( x = 0 \)에서 \( f(x) = \sin(x) e^x \)에 의해 생성된 차수 \( 5 \)의 Taylor 다항식을 찾고 \( f \) 그래프와 Taylor 는 동일한 좌표계의 다항식입니다.
a)

위 질문에 대한 해결책

Part A
a)
\( P_4(x) = f(2) + f'(2) (x-2) + \dfrac{f''(2)}{2!} (x-2)^2 + \dfrac{f^{(3)}(2))}{3!} (x- 2)^3 + \dfrac{f^{(4)}(2))}{4!} (x- 2)^4 \)

\( f(x) = e^{-x} \) , \( f'(x) = - e^{-x} \) , \( f''(x) = e^{-x} \) , \( f^{(3)}(x) = - e^{-x} \) , \( f^{(4)}(x) = e^{-x} \)

\( P_4(x) = \quad \dfrac{1}{e^2}-\dfrac{1}{e^2}\left(x-2\right)+\dfrac{1}{2e^2}\left(x-2\right)^2-\dfrac{1}{6e^2}\left(x-2\right)^3+\dfrac{1}{24e^2}\left(x-2\right)^4 \\ = \dfrac{x^4}{24e^2}-\dfrac{x^3}{2e^2}+\dfrac{5x^2}{2e^2}-\dfrac{19x}{3e^2} + \dfrac{7}{e^2} \)

b)

\( P_4(x) = f(\pi ) + f'(\pi ) (x-\pi ) + \dfrac{f''(\pi )}{2!} (x-\pi )^2 + \dfrac{f^{(3)}(\pi ))}{3!} (x- \pi )^3 + \dfrac{f^{(4)}(\pi ))}{4!} (x- \pi )^4 \)

\( f(x) = \sin(x/2) \) , \( f'(x) = \dfrac{1}{2} \cos(x/2) \) , \( f''(x) = - \dfrac{1}{4} \sin(x/2) \) , \( f^{(3)}(x) = - \dfrac{1}{8} \cos(x/2) \) , \( f^{(4)}(x) = \dfrac{1}{16} \cos(x/2) \)

\( P_4(x) = 1-\dfrac{1}{8}\left(x-\pi \right)^2+\dfrac{1}{384}\left(x-\pi \right)^4 \\ = \dfrac{x^4}{384}-\dfrac{\pi x^3}{96}-\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{\pi ^2x^2}{64}+\dfrac{\pi x}{4}-\dfrac{\pi ^3x}{96}-\dfrac{48 \pi ^2+\pi ^4+384}{384} \)

Part B
Maclaurin 시리즈는 다음과 같이 제공됩니다. \( \quad f(0) + f'(0) x + \dfrac{f''(0)}{2!} x^2 + ... + \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + ... \)
a)
\( f(x) = \cos(x+\pi/2) \) , \( f'(x) = - \sin(x+\pi/2) \) , \( f''(x) = - \cos(x+\pi/2) \) , \( f^{(3)}(x) = \sin(x+\pi/2) \) ...
Maclaurin 시리즈
\( -x+\dfrac{1}{6}x^3-\dfrac{1}{120}x^5+\dfrac{1}{5040}x^7-\dfrac{1}{362880}x^9+\ldots \: \)

b)
\( f(x) = e^x + e^{-x} \) , \( f'(x) = e^x - e^{-x} \) , \( f''(x) = e^x + e^{-x} \) , \( f^{(3)}(x) = e^x - e^{-x} \) ...
Maclaurin 시리즈
\( 2+x^2+\dfrac{1}{12}x^4+\dfrac{1}{360}x^6+\dfrac{1}{20160}x^8+ \ldots \:\)

c)
\( f(x) = e^{-x^2} \) , \( f'(x) = -2e^{-x^2}x \) , \( f''(x) = -2\left(-2e^{-x^2}x^2+e^{-x^2}\right) \) , \( f^{(3)}(x) = -2\left(4e^{-x^2}x^3-6e^{-x^2}x\right) \)
Maclaurin 시리즈
\( 1-x^2+\dfrac{1}{2}x^4-\dfrac{1}{6}x^6+\dfrac{1}{24}x^8+\ldots \: \)

d)
\( f(x) = \sin(x) \) , \( f'(x) = \cos(x) \) , \( f''(x) = -\sin(x) \) , \( f^{(3)}(x) = - \cos(x) \) , ...
Maclaurin 시리즈
\( x-\dfrac{1}{6}x^3+\dfrac{1}{120}x^5-\dfrac{1}{5040}x^7+\dfrac{1}{362880}x^9+\ldots \: \)

e)
\( f(x) = e^x - e^{-x} \) , \( f'(x) = e^x + e^{-x} \) , \( f''(x) = e^x - e^{-x} \) , \( f^{(3)}(x) = e^x + e^{-x} \) ...
Maclaurin 시리즈
\( 2x+\dfrac{1}{3}x^3+\dfrac{1}{60}x^5+\dfrac{1}{2520}x^7+\dfrac{1}{181440}x^9+\ldots \)

Part C
\( P_5(x) = x+x^2+\frac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{30}x^5 \)

더 많은 참고 자료 및 링크