푸리에 급수에 대한 튜토리얼이 제시됩니다. 첫 번째 부분에서는 예제를 통해 푸리에 계수가 어떻게 계산되는지 보여주고, 두 번째 부분에서는 동일한 함수의 푸리에 급수를 더 탐색할 수 있는 대화형 앱을 사용할 수 있습니다.
아래 내용에서 \( C \)는 해당하는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
푸리에 급수 및 계수
푸리에 급수는 주기 함수를 사인 및 코사인 함수의 선형 결합으로 나타내는 데 사용할 수 있습니다. \( f(t) \)가 주기 \( T \)인 주기 함수라면, 특정 조건 하에 그 푸리에 급수는 다음과 같이 주어집니다:
\[ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left[a_n \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right)\right] \]여기서 \( n = 1, 2, 3, \ldots \)이고 \( T \)는 함수 \( f(t) \)의 주기입니다. \( a_n \)과 \( b_n \)은 푸리에 계수라 불리며 다음과 같이 주어집니다:
\[ a_0 = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \, dt \] \[ a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt \] \[ b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt \]예제 1
다음으로 정의되는 주기 함수 \( f(t) \)의 푸리에 급수를 구하세요:
\[ f(t) = \begin{cases} 1, & \text{for } 0 \leq t < T/2 \\ -1, & \text{for } T/2 \leq t < T \end{cases} \].gif)
예제 1 풀이 보기
계수 \( a_0 \)는 다음과 같이 주어집니다:
\[ a_0 = \frac{2}{T} \int_0^{T/2} (1) \, dt + \frac{2}{T} \int_{T/2}^T (-1) \, dt \]계수 \( a_n \)은 다음과 같이 주어집니다:
\[ a_n = \frac{2}{T} \int_0^{T/2} 1 \cdot \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt + \frac{2}{T} \int_{T/2}^T (-1) \cdot \cos\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt \]계수 \( b_n \)은 다음과 같이 주어집니다:
\[ b_n = \frac{2}{T} \int_0^{T/2} 1 \cdot \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt + \frac{2}{T} \int_{T/2}^T (-1) \cdot \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \, dt \]적분을 계산하면 다음과 같습니다:
\[ a_0 = 0, \quad a_n = 0, \quad \text{and } b_n = \frac{2}{n\pi} (1 - \cos(n\pi)) \]\( \cos(n\pi) = (-1)^n \)이므로, \( n \)이 짝수일 때마다 \( b_n = 0 \)이 됩니다.
따라서 \( f(t) \)의 푸리에 급수는 다음과 같습니다:
\[ f(t) = \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n\pi} (1 - (-1)^n) \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \]푸리에 급수에 대한 대화형 튜토리얼
수치 계산 목적상 무한한 수의 항을 포함할 수 없습니다. 따라서 제한된 수의 항 \( N \)을 갖는 부분합 함수 \( f_N(t) \)를 정의합니다:
\[ f_N(t) = \sum_{n=1}^{N} \frac{2}{n\pi} (1 - (-1)^n) \sin\left(\frac{2n\pi t}{T}\right) \]아래 앱을 사용하여 예제 1에서 풀었던 \( f(t) \)의 푸리에 급수를 탐색할 수 있습니다. \( N \)을 늘려가며 \( f_N(t) \)의 그래프(파란색)가 \( f(t) \)의 그래프(빨간색)에 어떻게 수렴하는지 확인해 보세요.
기본값은 \( N = 5 \) 및 \( T = 4 \)입니다. \( N \)과 \( T \)를 변경한 후 버튼을 클릭하여 플롯을 업데이트하세요.
그래프나 플롯된 점 위에 마우스 커서를 올려 좌표를 확인하세요.