근호가 포함된 식을 더하고 빼려면 반드시 "동류근호"를 찾아야 합니다. 이 과정은 다항식 대수학에서 동류항을 결합하는 것과 정확히 같습니다.
기본 개념을 복습해야 하나요? 근호 소개부터 시작하세요.
동류근호의 정의
근호가 포함된 식은 정확히 같은 지수와 같은 피개수(근호 안의 수)를 가질 때만 동류근호로 간주됩니다.
- \( 6 \sqrt[3]{5} \)와 \( -5 \sqrt[3]{5} \)는 동류근호입니다 (지수: 3, 피개수: 5).
- \( 7 \sqrt[3]{8} \)과 \( -5 \sqrt[3]{9} \)는 동류근호가 아닙니다 (피개수 8과 9가 다름).
- \( 3 \sqrt{2x} \)와 \( -5 \sqrt{2x} \)는 동류근호입니다 (지수: 2, 피개수: \(2x\)).
기본 덧셈 및 뺄셈 예제
공통된 근호를 묶어내고 계수를 결합하는 방식으로 동류근호만 더하거나 뺄 수 있습니다.
예제 1: \( 4 \sqrt[3]{5} + 7 \sqrt[3]{5} \)
\[ 4\sqrt[3]{5} + 7\sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{5}(4+7) = 11\sqrt[3]{5} \]
예제 2: \( 9 \sqrt{13} - 11 \sqrt{13} \)
\[ 9\sqrt{13} - 11\sqrt{13} = \sqrt{13}(9-11) = -2\sqrt{13} \]
예제 3: \( -8 \sqrt[4]{2x+1} + 6 \sqrt[4]{2x+1} \)
\[ \sqrt[4]{2x+1}(-8+6) = -2\sqrt[4]{2x+1} \]
예제 4: \( -\sqrt{2xy} - 4 \sqrt{2xy} + 23 \sqrt{2xy} \)
\[ \sqrt{2xy}(-1-4+23) = 18\sqrt{2xy} \]
동류근호로 변형하기
피개수가 다를 때는 완전제곱수(또는 세제곱수)를 밖으로 빼내어 먼저 간단히 정리한 뒤 동류근호로 변환할 수 있는지 확인합니다.
예제 5: \( 4\sqrt{8} - 6\sqrt{2} \)
\[ 4\sqrt{2^2 \cdot 2} - 6\sqrt{2} = 4 \cdot 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \]
예제 6: \( -4\sqrt{12} + 12\sqrt{108} \)
12와 108을 소인수분해합니다: \(12 = 2^2 \cdot 3\) 및 \(108 = 2^2 \cdot 3^3\).
\[ -4\sqrt{2^2 \cdot 3} + 12\sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 3} \] \[ = -8\sqrt{3} + 72\sqrt{3} = 64\sqrt{3} \]예제 7: \( \sqrt[4]{(x+1)} + 3\sqrt[4]{16(x+1)} \)
\[ \sqrt[4]{(x+1)} + 3 \cdot 2\sqrt[4]{(x+1)} = \sqrt[4]{(x+1)} + 6\sqrt[4]{(x+1)} = 7\sqrt[4]{x+1} \]
풀이가 포함된 연습 문제
문제 1: \( -2\sqrt{3}+4\sqrt{3}+20 \)
\[ (-2+4)\sqrt{3} + 20 = 2\sqrt{3} + 20 \]
문제 2: \( 20\sqrt{7}-2\sqrt{28}-7 \)
\[ 20\sqrt{7} - 2\sqrt{4 \cdot 7} - 7 = 20\sqrt{7} - 4\sqrt{7} - 7 = 16\sqrt{7} - 7 \]
문제 3: \( -\sqrt{32}-2\sqrt{50}+3\sqrt{200} \)
간단히 하기: \(32 = 2 \cdot 16\), \(50 = 2 \cdot 25\), \(200 = 2 \cdot 100\).
\[ -4\sqrt{2} - 10\sqrt{2} + 30\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \]문제 4: \( -\sqrt{\frac{28}{9}}+3\sqrt{\frac{63}{25}} \)
\[ -\frac{2\sqrt{7}}{3} + 3 \cdot \frac{3\sqrt{7}}{5} = \sqrt{7}\left(-\frac{2}{3} + \frac{9}{5}\right) = \frac{17}{15}\sqrt{7} \]
문제 5: \( 2\sqrt{3x^2}-5\sqrt{12x^2} \)
\[ 2|x|\sqrt{3} - 5(2|x|\sqrt{3}) = -8|x|\sqrt{3} \]
문제 6: \( (7\sqrt{3x}-11\sqrt{27x})^2 \)
\[ (7\sqrt{3x} - 33\sqrt{3x})^2 = (-26\sqrt{3x})^2 = 676 \cdot 3x = 2028x \]