문제 1
아래에 그림으로 제시된 사각 피라미드의 각 변의 길이는 $10$인치입니다. 이 피라미드의 모서리 높이(경사 높이) $H$는 $12$인치입니다.
- 피라미드 밑면의 넓이는 제곱인치로 얼마입니까?
- 피라미드의 총 표면적은 제곱인치로 얼마입니까?
- 피라미드의 높이 $h$는 인치로 얼마입니까?
- (c)항에서 구한 높이를 사용하여 피라미드의 부피는 세제곱인치로 얼마입니까?
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a) 정사각형의 넓이: $10 \times 10 = 100$ 제곱인치.
b) 총 면적 = 밑면 + 삼각형 4개:
$$100 + 4 \left( \frac{1}{2} \times 12 \times 10 \right) = 340 \text{ 제곱인치.}$$
c) 경사 높이와 밑면의 절반을 사용하여 피타고라스 정리를 적용합니다:
$$h = \sqrt{12^2 - 5^2} = \sqrt{119} \text{ 인치.}$$
d) 부피:
$$\text{부피} = \frac{1}{3} \times 100 \times \sqrt{119} \approx 363.6 \text{ 세제곱인치.}$$
문제 2
아래 그림의 평행사변형은 둘레가 $44$ cm이고 넓이가 $64$ cm2입니다. 각 $T$의 크기를 도(degree) 단위로 구하세요.
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둘레 방정식을 세웁니다:
$$44 = 2(3x + 2) + 2(5x + 4)$$
\(x\)를 풉니다:
$$x = 2$$
밑변의 길이는 $5(2) + 4 = 14$입니다. 경사변의 길이는 $3(2) + 2 = 8$입니다.
넓이를 이용하여 평행사변형의 높이를 구합니다:
$$\text{높이} = \frac{\text{넓이}}{\text{밑변}} = \frac{64}{14} = \frac{32}{7} \text{ cm}$$
삼각비를 사용하여 각 $T$를 구합니다:
$$\sin(T) = \frac{\text{높이(대변)}}{\text{빗변}} = \frac{32/7}{8} = \frac{32}{56} = \frac{4}{7}$$
$$T = \arcsin\left(\frac{4}{7}\right) \approx 34.8^\circ$$
문제 3
그림에 나타난 사각형의 넓이를 구하세요. (참고: 그림은 축중에 맞춰 그려지지 않았을 수 있습니다)
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삼각형 $\triangle ABD$는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해:
$$BD^2 = 15^2 + 15^2 = 450$$
삼각형 $\triangle BCD$에 대해 짧은 변들의 제곱의 합을 확인하여 직각삼각형인지 테스트합니다:
$$BC^2 + CD^2 = 21^2 + 3^2 = 441 + 9 = 450$$
$BC^2 + CD^2 = BD^2$이므로 삼각형 $\triangle BCD$ 또한 직각삼각형입니다.
사각형의 총 넓이는 두 직각삼각형의 넓이의 합입니다:
$$\text{넓이} = \left(\frac{1}{2} \times 15 \times 15\right) + \left(\frac{1}{2} \times 21 \times 3\right) = 112.5 + 31.5 = 144$$
Problem 4
아래 그림에서 삼각형 OAB의 넓이는 $72$ 제곱 유닛이고 삼각형 ODC의 넓이는 $288$ 제곱 유닛입니다. 선분 BC의 길이를 \(x\), 선분 AD의 길이를 \(y\)로 두고 각각 구하세요.
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삼각형의 넓이에 대한 사인 공식을 사용하여 $\triangle OAB$를 평가합니다:
$$\text{Area of } \triangle OAB = 72 = \frac{1}{2} \sin(\angle AOB) \cdot OA \cdot OB$$
$OA = 18$이고 $OB = 16$이므로 $\sin(\angle AOB)$를 풉니다:
$$\sin(\angle AOB) = \frac{2 \cdot 72}{18 \cdot 16} = \frac{1}{2}$$
$\angle DOC$와 $\angle AOB$는 맞꼭지각이므로 $\sin(\angle DOC) = \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2}$입니다.
이제 $\triangle ODC$의 넓이를 구합니다:
$$\text{Area of } \triangle ODC = 288 = \frac{1}{2} \sin(\angle DOC) \cdot OD \cdot OC$$
$$288 = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right) \cdot (18 + y)(16 + x)$$
$$1152 = (18 + y)(16 + x)$$
점 A, B, C, D는 원 위에 있습니다. 할선정리에 의하여:
$$OA \cdot OD = OB \cdot OC$$
$$18(18 + y) = 16(16 + x)$$
이제 연립방정식이 만들어집니다:
1) $(18 + y)(16 + x) = 1152$
2) $18(18 + y) = 16(16 + x) \Rightarrow (18 + y) = \frac{8}{9}(16 + x)$
방정식 2를 방정식 1에 대입합니다:
$$\left(\frac{8}{9}(16 + x)\right)(16 + x) = 1152$$
$$(16 + x)^2 = 1152 \times \frac{9}{8} = 1296$$
$$16 + x = 36 \Rightarrow x = 20$$
$x = 20$을 방정식 2에 다시 대입합니다:
$$18 + y = \frac{8}{9}(16 + 20) = \frac{8}{9}(36) = 32$$
$$y = 14$$
문제 5
길이가 너비보다 $3$미터 더 길고 둘레와 넓이의 값이 같은 직사각형의 가로세로 길이를 구하세요.
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직사각형의 길이를 $L$, 너비를 $W$라고 합니다. 조건: $L = W + 3$
둘레: $2L + 2W = 2(W + 3) + 2W = 4W + 6$
넓이: $LW = (W + 3)W = W^2 + 3W$
넓이와 둘레의 값이 같으므로:
$$W^2 + 3W = 4W + 6$$
이차방정식을 풉니다:
$$W^2 - W - 6 = 0$$
$$(W - 3)(W + 2) = 0$$
너비는 음수가 될 수 없으므로 $W = 3$입니다. 대입하여 길이를 구합니다:
$$L = 3 + 3 = 6$$
정답: 너비 = $3$미터, 길이 = $6$미터.
문제 6
넓이가 $100 \pi$ 제곱센티미터인 원형 디스크의 둘레를 구하세요.
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디스크의 반지름을 $r$이라고 합니다. 넓이가 $100\pi$이므로;
$$100\pi = \pi r^2$$
\(r\)에 대해 풉니다:
$$r = 10$$
둘레는 다음과 같습니다:
$$C = 2\pi r = 20\pi \text{ cm}$$
문제 7
넓이가 $1250 \pi$ 제곱센티미터인 반원이 직사각형 내부에 내접해 있습니다. 반원의 지름은 직사각형의 길이와 일치합니다. 직사각형의 넓이를 구하세요.
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반원의 반지름을 $r$이라고 합니다. 넓이는:
$$1250\pi = \frac{1}{2} \pi r^2$$
\(r\)을 구합니다:
$$2500 = r^2 \Rightarrow r = 50$$
직사각형의 길이는 $2r = 100$입니다(반원이 내접해 있으므로).
직사각형의 너비는 $r = 50$입니다(반원이 내접해 있으므로).
직사각형의 넓이는 다음과 같습니다:
$$\text{넓이} = 100 \times 50 = 5000 \text{ cm}^2$$