문제 1
높이가 20미터인 건물 꼭대기 위에서 공을 위로 던졌습니다. $t$초 후 공의 높이 $h$(미터)는 다음과 같이 주어집니다:
$$h(t) = -5t^2 + 15t + 20$$
a) 공이 최고 높이에 도달하는 데 얼마나 걸립니까?
b) 공이 도달하는 최고 높이는 얼마입니까?
c) 공이 땅에 닿는 때는 언제입니까?
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a) 최고 높이는 포물선의 꼭짓점에서 발생합니다:
$$t = \frac{-b}{2a} = \frac{-15}{2(-5)} = \frac{15}{10} = 1.5\ \text{초}$$
b) 방정식에 $t = 1.5$를 대입하여 최고 높이를 구합니다:
$$h(1.5) = -5(1.5)^2 + 15(1.5) + 20 = -11.25 + 22.5 + 20 = 31.25\ \text{미터}$$
c) $h(t) = 0$으로 놓습니다:
$$-5t^2 + 15t + 20 = 0 \Rightarrow t^2 - 3t - 4 = 0$$
인수분해:
$$(t - 4)(t + 1) = 0 \Rightarrow t = 4\ \text{또는}\ t = -1$$
시간은 음수가 될 수 없으므로, 공은 던져진 지 4초 후에 땅에 닿습니다.
문제 2
다임(10센트)과 쿼터(25센트) 동전이 합쳐서 30개 있습니다. 총가치는 $\$5.10$입니다.
a) 상황을 나타내는 연립방정식을 세우세요.
b) 연립방정식을 풀어 다임과 쿼터가 각각 몇 개인지 구하세요.
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a) 다임의 개수를 $d$, 쿼터의 개수를 $q$라고 합니다.
총 동전 개수는 30개입니다:
$$d + q = 30 \quad \text{(1)}$$
다임은 10센트이고 쿼터는 25센트이므로:
$$0.10d + 0.25q = 5.10 \quad \text{(2)}$$
b) 방정식 (1)에서: $d = 30 - q$
방정식 (2)에 대입합니다:
$$0.10(30 - q) + 0.25q = 5.10$$
전개하고 간단히 합니다:
$$3 - 0.10q + 0.25q = 5.10$$
$$0.15q = 2.10$$
$$q = 14$$
그러면 $d = 16$입니다.
다임 16개와 쿼터 14개가 있습니다.
문제 3
원의 중심이 $(3,-2)$이고 점 $(6,2)$를 지난다고 합니다.
a) 원의 반지름을 구하세요.
b) 원의 방정식을 표준형 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$으로 쓰세요. (단, $(a,b)$는 원의 중심)
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a) 반지름은 중심에서 원 위의 임의의 점까지의 거리이므로, 중심 $(3,-2)$와 점 $(6,2)$를 이용하여 거리 공식을 통해 반지름 $r$을 구합니다:
$$r = \sqrt{(6 - 3)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
b) 원의 방정식은 다음과 같습니다:
$$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$$
문제 4
간단히 하세요:
$$\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} \cdot \frac{x - 2}{x + 3}$$
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모든 식을 인수분해합니다:
$$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$$
$$x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$$
주어진 식에 대입합니다:
$$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)(x + 2)} \cdot \frac{x - 2}{x + 3}$$
공통인수 $(x - 3)$과 $(x + 3)$을 소거하여 얻습니다:
$$\frac{x^2 - 9}{x^2 - x - 6} \cdot \frac{x - 2}{x + 3} = \frac{x - 2}{x + 2}$$
위와 같이 공통인수를 소거할 때, 이는 공통인수로 나누는 것입니다. 0으로 나눌 수 없으므로, 소거된 공통인수가 0이 될 수 없다는 조건을 부과해야 합니다:
$$x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$$
$$x + 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$$
주어진 식은 다음과 같이 간단해집니다:
$$\frac{x - 2}{x + 2}, \quad \text{단, } x \neq 3,\ -3$$
문제 5
방정식을 푸세요:
$$\sqrt{2x + 3} = x - 1$$
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양변을 제곱합니다:
$$(\sqrt{2x + 3})^2 = (x - 1)^2$$
$$2x + 3 = x^2 - 2x + 1$$
정리합니다:
$$0 = x^2 - 4x - 2$$
근의 공식을 사용합니다:
$$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 8}}{2}$$
$$= \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}$$
무연근이 있는지 확인합니다:
$x = 2 + \sqrt{6} \approx 4.45$ 대입:
좌변(LHS) = $\sqrt{2(4.45) + 3} = \sqrt{11.9} \approx 3.45$
우변(RHS) = $4.45 - 1 = 3.45$ (참)
$x = 2 - \sqrt{6} \approx -0.45$ 대입:
좌변(LHS) = $\sqrt{2(-0.45) + 3} = \sqrt{-0.9 + 3} = \sqrt{2.1} \approx 1.45$
우변(RHS) = $-0.45 - 1 = -1.45$ (거짓)
해 $x = 2 + \sqrt{6}$은 주어진 방정식의 양변을 만족하지만 $x = 2 - \sqrt{6}$은 만족하지 않으므로 무연근입니다.
주어진 방정식의 해는 다음과 같습니다: $$x = 2 + \sqrt{6}$$
문제 6
주어진 점들: $A(2, 3)$, $B(6, 7)$, $C(10, 5)$, $D(6, 1)$
사각형 ABCD가 평행사변형임을 증명하세요.
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$AB$와 $CD$의 기울기를 구합니다:
$$m_{AB} = \frac{7 - 3}{6 - 2} = \frac{4}{4} = 1$$
$$m_{CD} = \frac{5 - 1}{10 - 6} = \frac{4}{4} = 1$$
$BC$와 $AD$의 기울기를 구합니다:
$$m_{BC} = \frac{5 - 7}{10 - 6} = \frac{-2}{4} = -0.5$$
$$m_{AD} = \frac{1 - 3}{6 - 2} = \frac{-2}{4} = -0.5$$
두 쌍의 대변의 기울기가 각각 같으므로 ABCD는 평행사변형입니다.
문제 7
$x$에 대해 푸세요:
$$\dfrac{5^{2x}}{5} = 625$$
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먼저 625를 5의 거듭제곱으로 나타냅니다:
$$625 = 5^4$$
지수 법칙을 사용하여 나타냅니다:
$$\dfrac{5^{2x}}{5} = 5^{2x-1}$$
방정식을 다시 씁니다:
$$5^{2x - 1} = 5^4$$
따라서 다음 대수 방정식을 얻습니다:
$$2x - 1 = 4$$
$x$에 대해 풉니다:
$$x = \frac{5}{2}$$
문제 8
삼각형 $ABC$에서 변 $a = 7$ cm, 변 $b = 10$ cm, 각 $C = 120^\circ$입니다.
변 $c$의 길이를 구하세요.
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제2 코사인 법칙을 사용합니다:
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$$
$$c^2 = 7^2 + 10^2 - 2(7)(10)\cos(120^\circ)$$
$$c^2 = 49 + 100 - 140(-0.5)$$
$$c^2 = 149 + 70 = 219$$
$$c = \sqrt{219} \approx 14.8 \ \text{cm}$$
문제 9
함수 $f(x) = a(x - 2)^2 + 3$은 점 $(4, 15)$를 지난다.
계수 \( a \)를 구하고 꼭짓점의 좌표를 구하세요.
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방정식에 $x = 4$, $f(x) = 15$를 대입합니다:
$$15 = a(4 - 2)^2 + 3$$
$a$에 대해 풉니다:
$$15 = a(2)^2 + 3$$
$$a = 3$$
함수 $f(x)$는 다음과 같은 이차함수입니다:
$$f(x) = 3(x - 2)^2 + 3$$
꼭짓점 형태 $a(x - h)^2 + k$로부터 꼭짓점은 $(h, k) = (2, 3)$입니다.
문제 11
$50$ m 떨어진 지점에서 탑의 꼭대기를 올려다본 올려다보는 각(앙각)은 $32^\circ$입니다.
a) 탑의 높이는 얼마입니까?
b) 동일한 지점에서 드론이 탑 위 $30$ m 지점에 있다면, 같은 지점에서 드론을 바라보는 새로운 앙각은 얼마입니까?
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a) 탑의 높이를 $h$라고 합니다. 직각삼각형에서 탄젠트 공식을 사용합니다:
$$\tan(32^\circ) = \frac{h}{50}$$
$h$에 대해 풉니다:
$$h = 50 \cdot \tan(32^\circ) \approx 50 \cdot 0.6249 = 31.2\ \text{m}$$
b) 드론의 높이: $31.2 + 30 = 61.2$
드론을 바라보는 앙각을 $\theta$라고 합니다:
$$\tan(\theta) = \frac{61.2}{50}$$
$$\theta = \tan^{-1}(1.224) \approx 50.8^\circ$$
문제 12
보트가 강을 따라 A점에서 B점으로 내려가는 데 3시간이 걸리고, B점에서 A점으로 거슬러 올라가는 데 5시간이 걸립니다. 정수(물살이 없을 때)에서 같은 보트가 A점에서 B점으로 가는 데 얼마나 걸릴까요?
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다음과 같이 둡니다:
$S$는 정수에서 보트의 속력(km/h),
$r$은 강물 유속(km/h),
$d$는 A점과 B점 사이의 거리(km).
주어진 조건으로부터: 순행(내려갈 때):
$$d = 3(S + r)$$
역행(올라갈 때):
$$d = 5(S - r)$$
$d$에 대한 두 식을 같다고 놓습니다:
$$3(S + r) = 5(S - r)$$
양변을 전개합니다:
$$3S + 3r = 5S - 5r$$
$r$이 있는 항은 한쪽으로, $S$가 있는 항은 다른쪽으로 모읍니다:
$$8r = 2S$$
$r$에 대해 풉니다:
$$r = \frac{S}{4}$$
이제 $r = \frac{S}{4}$를 순행 방정식에 다시 대입합니다:
$$d = 3\left(S + \frac{S}{4}\right) = 3\left(\frac{5S}{4}\right) = \frac{15S}{4}$$
이제 정수(물살 없음)에서의 속력은 단지 $S$입니다. 정수에서 A부터 B까지 이동하는 데 걸리는 시간:
$$\text{시간} = \frac{d}{S} = \frac{\frac{15S}{4}}{S} = \frac{15}{4} = 3.75\ \text{시간}$$
따라서 정수에서 보트가 A에서 B로 가는 데 걸리는 시간은 3시간 45분입니다.
문제 13
$x$가 어떤 값일 때 함수 $f(x) = -3(x - 10)(x - 4)$가 최댓값을 가집니까? 최댓값을 구하세요.
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함수를 전개합니다:
$$f(x) = -3(x^2 - 14x + 40) = -3x^2 + 42x - 120$$
이것은 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 형태의 이차함수이며 $a = -3, \, b = 42$입니다.
함수는 x좌표가 다음과 같은 꼭짓점에서 최댓값에 도달합니다:
$$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{42}{2(-3)} = \frac{42}{6} = 7$$
최댓값을 구하려면 $x = 7$을 함수에 다시 대입합니다:
$$f(7) = -3(7 - 10)(7 - 4) = -3(-3)(3) = -3 \cdot -9 = 27$$
함수는 $x = 7$에서 최댓값을 가지며, $f(x)$의 최댓값은 $f(7) = 27$입니다.
문제 14
학급의 평균 시험 점수는 $70$점입니다. $60$점 미만을 받은 학생들의 평균 점수는 $50$점이고, $60$점 이상을 받은 학생들의 평균은 $75$점입니다. 학급 전체 학생 수가 $20$명이라면, $60$점 미만을 받은 학생은 몇 명입니까?
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60점 미만을 받은 학생 수를 $n$, 60점 이상을 받은 학생 수를 $N$이라고 합니다.
60점 미만을 받은 학생들의 평균은 다음과 같습니다:
$$\frac{\sum X_i}{n} = 50 \Rightarrow \sum X_i = 50n$$
60점 이상을 받은 학생들의 평균은 다음과 같습니다:
$$\frac{\sum Y_i}{N} = 75 \Rightarrow \sum Y_i = 75N$$
학급 전체 평균은 70점입니다:
$$\frac{\sum X_i + \sum Y_i}{20} = 70$$
대입합니다:
$$\frac{50n + 75N}{20} = 70$$
모든 항에 20을 곱하고 정리합니다:
$$50n + 75N = 1400 \quad \text{(1)}$$
또한 다음 관계가 있습니다:
$$n + N = 20 \Rightarrow N = 20 - n$$
$N$을 방정식 (1)에 대입합니다:
$$50n + 75(20 - n) = 1400$$
전개하고 간단히 합니다:
$$-25n + 1500 = 1400$$
$n$에 대해 풉니다:
$$-25n = -100 \Rightarrow n = 4$$
60점 미만을 받은 학생은 $n = 4$명입니다.
문제 15
사다리꼴의 넓이는 270 제곱 유닛입니다. 둘레를 구하고 반올림하여 가장 가까운 정수로 나타내세요.
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사다리꼴의 높이를 $h$라고 합니다.
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (\text{윗변} + \text{아랫변}) = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (10 + 10 + 3 + 4) = 270$$
$h$에 대해 풉니다:
$$\frac{1}{2} \cdot h \cdot 27 = 270 \Rightarrow h = 20$$
왼쪽의 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용합니다 (빗변 $L$):
$$20^2 + 3^2 = L^2 \Rightarrow L = \sqrt{409}$$
오른쪽의 직각삼각형에 피타고라스 정리를 적용합니다 (빗변 $R$):
$$20^2 + 4^2 = R^2 \Rightarrow R = \sqrt{416}$$
사다리꼴의 둘레는 다음과 같습니다:
$$\text{둘레} = \sqrt{409} + 10 + \sqrt{416} + 17 = 27 + \sqrt{409} + \sqrt{416} \approx 68\ \text{유닛}$$
문제 16
직사각형 모양의 들판의 넓이는 $300$ 제곱미터입니다. 둘레는 $70$미터입니다. 이 직사각형의 가로와 세로 길이를 구하세요.
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길이를 $L$미터, 너비를 $W$미터라고 하고 $L > W$라고 합니다.
넓이를 이용하여 식을 씁니다:
$$L \times W = 300$$
둘레를 이용하여 식을 씁니다:
$$2L + 2W = 70$$
모든 항을 2로 나눕니다:
$$L + W = 35$$
$L$에 대해 풉니다:
$$L = 35 - W$$
넓이 방정식에 대입합니다:
$$(35 - W) \cdot W = 300$$
전개하여 표준 이차 방정식 형태로 정리합니다:
$$35W - W^2 = 300$$
$$W^2 - 35W + 300 = 0$$
근의 공식을 사용하여 풉니다:
$$W = \frac{35 \pm \sqrt{(-35)^2 - 4(1)(300)}}{2(1)}$$
$$W = \frac{35 \pm \sqrt{1225 - 1200}}{2} = \frac{35 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{35 \pm 5}{2}$$
$$W = 20\ \text{또는}\ W = 15$$
$W = 15$일 때, $L = 35 - 15 = 20$.
$W = 20$일 때, $L = 35 - 20 = 15$.
$L > W$이므로, 직사각형의 크기는 $L = 20$, $W = 15$입니다.
문제 17
전동기가 분당 $3,000$회전합니다. 1초 동안 몇 도로 회전합니까?
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모터의 회전 속력은 분당 $3000$회전입니다.
1회전은 $360^\circ$
1분은 $60$초
차원 분석을 사용합니다:
$$\frac{3000 \, \text{회전}}{1 \, \text{분}} \times \frac{360^\circ}{1 \, \text{회전}} \times \frac{1 \, \text{분}}{60 \, \text{초}}$$
단위를 소거하여 초당 각도를 얻습니다:
$$= \frac{3000 \times 360}{60} = \frac{1,080,000}{60} = 18,000^\circ \, \text{초당}$$
문제 18
부동산 중개인이 집의 판매 가격에 대해 $6\%$의 수수료를 받았습니다. 그의 수수료가 $\$8,880$이었다면, 집의 판매 가격은 얼마였습니까?
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집의 판매 가격을 $x$라고 합니다.
$$x\text{의 } 6\% = 8,880$$
$$0.06x = 8,880$$
$x$에 대해 풉니다:
$$x = \frac{8,880}{0.06}$$
$$x = 148,000$$
집의 판매 가격은 $\$148,000$이었습니다.
문제 19
자동차가 시속 $72$ km로 달릴 때 타이어가 분당 $400$회전한다면, 타이어의 둘레 $C$는 얼마입니까?
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주어진 조건:
회전 속력: $400 \, \text{회전/분}$
선속도: $72 \, \text{km/h} = 72,000 \, \text{m/h}$
먼저 분당 회전수를 시간당 회전수로 변환합니다:
$$400 \, \dfrac{\text{회전}}{\text{분}} \times 60 \, \dfrac{\text{분}}{\text{시간}} = 24,000 \, \dfrac{\text{회전}}{\text{시간}}$$
타이어의 둘레를 미터 단위로 $C$라고 합니다. 1시간 동안 이동한 총거리는 시간당 회전수에 둘레를 곱한 것과 같습니다:
$$24,000 \cdot C = 72,000$$
$C$에 대해 풉니다:
$$C = \frac{72,000}{24,000} = 3 \, \text{미터}$$
문제 20
상점에서 셔츠 4벌, 바지 4벌, 모자 2개의 가격이 $\$560$입니다. 셔츠 9벌, 바지 9벌, 모자 6개의 가격이 $\$1,290$입니다. 셔츠 1벌, 바지 1벌, 모자 1개의 총가격은 얼마입니까?
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셔츠 1벌의 가격을 $x$, 바지 1벌의 가격을 $y$, 모자 1개의 가격을 $z$라고 합니다. 다음이 주어져 있습니다:
(1) $4x + 4y + 2z = 560$
(2) $9x + 9y + 6z = 1290$
방정식 (2)를 3으로 나눕니다:
(3) $3x + 3y + 2z = 430$
이제 방정식 (3)에서 방정식 (1)을 뺍니다:
$$(3x + 3y + 2z) - (4x + 4y + 2z) = 430 - 560$$
$$-x - y = -130 \Rightarrow x + y = 130 \quad \text{(4)}$$
방정식 (4)를 방정식 (3)에 대입합니다:
$$3(x + y) + 2z = 430$$
$$3(130) + 2z = 430$$
$$390 + 2z = 430$$
$$2z = 40 \Rightarrow z = 20$$
이제 다시 대입하여 셔츠 1벌, 바지 1벌, 모자 1개의 총가격을 구합니다:
$$x + y + z = 130 + 20 = 150$$
총가격은 $\$150$입니다.
문제 21
네 명의 아이들이 작은 장난감을 가지고 있습니다. 첫 번째 아이는 전체 장난감의 $\frac{1}{10}$을 가지고 있고, 두 번째 아이는 첫 번째 아이보다 12개 더 많은 장난감을 가지고 있으며, 세 번째 아이는 첫 번째 아이보다 장난감이 1개 더 많고, 네 번째 아이는 세 번째 아이 장난감 수의 두 배를 가지고 있습니다. 장난감은 총 몇 개입니까?
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장난감의 총 개수를 $x$라고 합니다.
첫 번째 아이는 $\frac{x}{10}$개의 장난감을 가지고 있습니다.
두 번째 아이는 $\frac{x}{10} + 12$개의 장난감을 가지고 있습니다.
세 번째 아이는 $\frac{x}{10} + 1$개의 장난감을 가지고 있습니다.
네 번째 아이는 $2 \left( \frac{x}{10} + 1 \right)$개의 장난감을 가지고 있습니다.
장난감 총개수에 대한 방정식을 세웁니다:
$$\frac{x}{10} + \left( \frac{x}{10} + 12 \right) + \left( \frac{x}{10} + 1 \right) + 2 \left( \frac{x}{10} + 1 \right) = x$$
전개합니다:
$$\frac{x}{10} + \frac{x}{10} + 12 + \frac{x}{10} + 1 + \frac{2x}{10} + 2 = x$$
동류항을 결합합니다:
$$\frac{5x}{10} + 15 = x$$
$$\frac{x}{2} + 15 = x$$
양변에서 $\frac{x}{2}$를 뺍니다:
$$15 = \frac{x}{2}$$
$x$에 대해 풉니다:
$$x = 30$$
따라서 장난감의 총개수는 30개입니다.
문제 22
식의 값을 구하세요:
$$\left( 1 - \frac{1}{10} \right) \left( 1 - \frac{1}{11} \right) \left( 1 - \frac{1}{12} \right) \cdots \left( 1 - \frac{1}{100} \right)$$
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먼저 곱의 각 항을 분수로 씁니다:
$$\left( \frac{9}{10} \right) \left( \frac{10}{11} \right) \left( \frac{11}{12} \right) \cdots \left( \frac{99}{100} \right)$$
이제 연쇄적인 상쇄(telescoping) 패턴을 관찰합니다. 각 분모가 다음 분수의 분자와 소거되어 첫 번째 분자의 분자와 마지막 분모만 남게 됩니다:
$$\frac{9}{100}$$