근호 식의 분모를 유리화하는 방법에 관한 고등학교 1학년 문제들이 아래에 제시되어 있습니다. 공식을 검토하고 예제를 살펴본 뒤 연습 문제를 풀어보고, 화살표를 클릭하여 단계별 풀이를 확인하세요.
분모에 근호가 있는 식을 유리화한다는 것은 분모에 근호가 없도록 표현하는 것을 의미합니다.
유리식을 유리화하기 위해 다음 항등식들을 사용할 수 있습니다:
유리화가 어떻게 적용되는지 다음 예제들을 통해 살펴보세요:
유리화하기: $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
분모에 $\sqrt{2}$가 있으므로, 분자와 분모에 $\sqrt{2}$를 곱하고 간단히 합니다:
$$ \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $$
유리화하기: $\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}$
분모에 $\sqrt[3]{x}$가 있으므로, 분자와 분모에 $\left( \sqrt[3]{x} \right)^2$을 곱하고 간단히 합니다:
$$ \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} \cdot \dfrac{\left( \sqrt[3]{x} \right)^2}{\left( \sqrt[3]{x} \right)^2} = \dfrac{\sqrt[3]{x^2}}{x} $$
유리화하기: $\dfrac{4}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$
분모에 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$라는 식이 있으므로, 분자와 분모에 그 켤레식인 $\sqrt{3} + \sqrt{2}$를 곱하여 다음과 같이 얻습니다:
$$ \dfrac{4}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \dfrac{4}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \cdot \dfrac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} $$
$$ = \dfrac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} $$
$$ = \dfrac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3})^{2} - (\sqrt{2})^{2}} $$
$$ = \dfrac{4(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3 - 2} = 4(\sqrt{3} + \sqrt{2}) $$
유리화하기: $\dfrac{5x^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$
분모에 $\sqrt[3]{x^2}$ 식이 있으므로, 분자와 분모에 $\left( \sqrt[3]{x^2} \right)^2$을 곱하여 다음과 같이 얻습니다:
$$ \dfrac{5x^2}{\sqrt[3]{x^2}} = \dfrac{5x^2}{\sqrt[3]{x^2}} \cdot \dfrac{\left( \sqrt[3]{x^2} \right)^2}{\left( \sqrt[3]{x^2} \right)^2} $$
$$ = \dfrac{5x^2 \sqrt[3]{x^4}}{\left( \sqrt[3]{x^2} \right)^3} $$
간단히 하고 항들을 소거합니다:
$$ = \dfrac{5x^2 \sqrt[3]{x^4}}{x^2} = 5\sqrt[3]{x^4} = 5x\sqrt[3]{x} $$
유리화하기: $\dfrac{x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}}$
분모에 $y + \sqrt{x^2 + y^2}$ 식이 있으므로, 분자와 분모에 그 켤레식인 $y - \sqrt{x^2 + y^2}$를 곱하여 다음과 같이 얻습니다:
$$ \dfrac{x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}} = \dfrac{x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \dfrac{y - \sqrt{x^2 + y^2}}{y - \sqrt{x^2 + y^2}} $$
$$ = \dfrac{x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{(y)^2 - (\sqrt{x^2 + y^2})^2} $$
$$ = \dfrac{x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{y^2 - (x^2 + y^2)} $$
$$ = \dfrac{x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{-x^2} $$
$$ = -y + \sqrt{x^2 + y^2} $$
다음 식의 분모를 유리화하고 가능하면 간단히 하세요:
간단히 하기: $\dfrac{10}{\sqrt{5}}$
분자와 분모에 $\sqrt{5}$를 곱합니다:
$$ \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{(\sqrt{5})^2} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} $$
간단히 하기: $2\sqrt{2}\sqrt{3} - \dfrac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$
분수 부분을 중점적으로 봅니다. 분자와 분모에 켤레식인 $\sqrt{2} - \sqrt{3}$을 곱합니다:
$$ = 2\sqrt{2}\sqrt{3} - \left( \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \right) $$
분수를 간단히 합니다:
$$ = 2\sqrt{2}\sqrt{3} - \frac{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^2}{(\sqrt{2})^2-(\sqrt{3})^2} $$
$$ = 2\sqrt{2}\sqrt{3} - \frac{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{2}\sqrt{3}}{2-3} $$
$$ = 2\sqrt{2}\sqrt{3} - \frac{2+3-2\sqrt{2}\sqrt{3}}{-1} $$
마이너스 부호를 분배합니다:
$$ = 2\sqrt{2}\sqrt{3} + 5 - 2\sqrt{2}\sqrt{3} $$
$$ = 5 $$
간단히 하기: $\dfrac{7x^4}{\sqrt[3]{x^4}}$
분자와 분모에 $\left( \sqrt[3]{x^4} \right)^2$을 곱합니다:
$$ \frac{7x^4}{\sqrt[3]{x^4}} = \frac{7x^4}{\sqrt[3]{x^4}} \cdot \frac{\left( \sqrt[3]{x^4} \right)^2}{\left( \sqrt[3]{x^4} \right)^2} $$
간단히 합니다:
$$ = \frac{7x^4 \sqrt[3]{x^8}}{\left( \sqrt[3]{x^4} \right)^3} = \frac{7x^4 \sqrt[3]{x^8}}{x^4} = 7 \sqrt[3]{x^8} = 7x^2 \sqrt[3]{x^2} $$
간단히 하기: $\dfrac{-x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}}$
분자와 분모에 켤레식인 $y - \sqrt{x^2 + y^2}$를 곱합니다:
$$ \frac{-x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{-x^2}{y + \sqrt{x^2 + y^2}} \cdot \frac{y - \sqrt{x^2 + y^2}}{y - \sqrt{x^2 + y^2}} $$
분모를 간단히 합니다:
$$ = \frac{-x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{y^2 - (x^2 + y^2)} $$
$$ = \frac{-x^2(y - \sqrt{x^2 + y^2})}{-x^2} = y - \sqrt{x^2 + y^2} $$