근호 식을 간단히 하는 방법에 관한 고등학교 1학년 문제들이 아래에 제시되어 있습니다. 근호의 규칙과 속성을 검토하고 연습 문제를 풀어본 뒤, 화살표를 클릭하여 단계별 풀이를 확인하세요.
근호 식을 간단히 하려면 다음의 근호 규칙과 속성들을 알고 있어야 합니다.
A) $n$이 짝수일 때, $\sqrt[n]{x^n} = |x|$
B) $n$이 홀수일 때, $\sqrt[n]{x^n} = x$
예제:
실수의 제곱근과 근호에 대한 추가 예제.
지수가 같은 근호의 곱셈 공식은 다음과 같습니다:
근호 식 곱하기에 대한 추가 예제.
지수가 같은 근호의 나눗셈 공식은 다음과 같습니다:
근호 식 나누기에 대한 추가 예제.
동류 근호끼리만 더하거나 뺄 수 있습니다.
예제:
근호 식 더하기에 대한 추가 예제.
다음과 같은 항등식을 사용하여 분모에 근호가 없는 형태로 다시 쓸 수 있습니다(유리화):
근호 식의 분모 유리화하기에 대한 추가 예제.
주어진 식을 유리화하고 간단히 하세요:
간단히 하기: $\sqrt{128} \cdot \sqrt{32}$
128과 32를 소인수의 곱으로 씁니다: $128 = 2^7$, $32 = 2^5$.
$$ \sqrt{128} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2^7} \cdot \sqrt{2^5} = \sqrt{2^7 \cdot 2^5} $$
$$ = \sqrt{2^{12}} = \sqrt{(2^6)^2} = |2^6| = 64 $$
간단히 하기: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + 3\sqrt{12}$
곱셈 법칙을 사용하여 $\sqrt{2} \cdot \sqrt{6} = \sqrt{12}$로 씁니다.
$$ \sqrt{2} \cdot \sqrt{6} + 3\sqrt{12} = \sqrt{2 \cdot 6} + 3\sqrt{12} = \sqrt{12} + 3\sqrt{12} $$
$$ = \sqrt{12}(1 + 3) = 4\sqrt{12} $$
$$ = 4\sqrt{4 \cdot 3} = 4\sqrt{4}\sqrt{3} = 4 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3} $$
간단히 하기: $\dfrac{3\sqrt{14} + 4\sqrt{63}}{3\sqrt{7}}$
14와 63을 소인수의 곱으로 쓰고($14 = 2 \times 7$, $63 = 3^2 \times 7$) 대입합니다:
$$ \dfrac{3\sqrt{14} + 4\sqrt{63}}{3\sqrt{7}} = \dfrac{3\sqrt{2 \cdot 7} + 4\sqrt{3^2 \cdot 7}}{3\sqrt{7}} $$
$$ = \dfrac{3\sqrt{2}\sqrt{7} + 4 \cdot 3\sqrt{7}}{3\sqrt{7}} $$
$$ = \dfrac{\sqrt{7}(3\sqrt{2} + 12)}{3\sqrt{7}} $$
$$ = \dfrac{3\sqrt{2} + 12}{3} = \sqrt{2} + 4 $$
간단히 하기: $\sqrt[3]{32} \sqrt[3]{16}$
32와 16을 소인수의 곱으로 쓰고($32 = 2^5$, $16 = 2^4$) 대입합니다:
$$ \sqrt[3]{32} \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^5} \sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{2^5 \cdot 2^4} $$
$$ = \sqrt[3]{2^9} = \sqrt[3]{(2^3)^3} = 2^3 = 8 $$
간단히 하기: $\sqrt[3]{\dfrac{64}{7}}$
64를 소인수의 곱으로 쓰고($64 = 2^6$) 대입합니다:
$$ \sqrt[3]{\dfrac{64}{7}} = \sqrt[3]{\dfrac{2^6}{7}} = \sqrt[3]{\dfrac{(2^2)^3}{7}} = \dfrac{4}{\sqrt[3]{7}} $$
분자와 분모에 $\left(\sqrt[3]{7}\right)^2$을 곱하여 분모를 유리화합니다:
$$ = \dfrac{4}{\sqrt[3]{7}} \cdot \dfrac{\left(\sqrt[3]{7}\right)^2}{\left(\sqrt[3]{7}\right)^2} = \dfrac{4\left(\sqrt[3]{7}\right)^2}{7} = \dfrac{4\sqrt[3]{49}}{7} $$
간단히 하기: $\dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{54x}}{\sqrt[3]{2}}$
54를 소인수의 곱으로 쓰고($54 = 2 \times 3^3$) 대입합니다:
$$ \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{54x}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{2 \cdot 3^3 x}}{\sqrt[3]{2}} $$
$$ = \dfrac{\sqrt[3]{2x} - \sqrt[3]{2x} \cdot \sqrt[3]{3^3}}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{2x} - 3\sqrt[3]{2x}}{\sqrt[3]{2}} $$
$$ = \dfrac{-2\sqrt[3]{2x}}{\sqrt[3]{2}} = -2\sqrt[3]{\dfrac{2x}{2}} = -2\sqrt[3]{x} $$
간단히 하기: $\dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x} - \sqrt{x + 1}}$
분모와 분자에 분모의 켤레식을 곱합니다:
$$ \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x} - \sqrt{x+1}} \cdot \dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}}{\sqrt{x} + \sqrt{x+1}} $$
전개하고 간단히 합니다:
$$ = \dfrac{(\sqrt{x})^2 + (\sqrt{x+1})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{x+1})^2} $$
$$ = \dfrac{x + (x + 1) + 2\sqrt{x}\sqrt{x+1}}{x - (x + 1)} $$
$$ = \dfrac{2x + 1 + 2\sqrt{x(x+1)}}{-1} $$
$$ = -2x - 1 - 2\sqrt{x(x+1)} $$
근호의 모든 규칙과 속성을 사용하여 다음 식을 유리화하고 간단히 하세요.
간단히 하기: $\sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{125}$
$$ \sqrt[3]{25} \cdot \sqrt[3]{125} = \sqrt[3]{3125} = \sqrt[3]{125 \cdot 25} = 5\sqrt[3]{25} $$
간단히 하기: $(5\sqrt[3]{64})(-3\sqrt[3]{16})$
먼저 알려진 세제곱근을 간단히 합니다 ($\sqrt[3]{64} = 4$):
$$ (5 \cdot 4)(-3\sqrt[3]{16}) = 20(-3\sqrt[3]{16}) = -60\sqrt[3]{16} $$
$\sqrt[3]{16}$을 $\sqrt[3]{8 \cdot 2} = 2\sqrt[3]{2}$로 간단히 합니다:
$$ -60(2\sqrt[3]{2}) = -120\sqrt[3]{2} $$
간단히 하기: $(7\sqrt{\dfrac{2}{5}})(2\sqrt{10})$
$$ (7\sqrt{\dfrac{2}{5}})(2\sqrt{10}) = 14\sqrt{\dfrac{20}{5}} $$
$$ = 14\sqrt{4} = 14 \cdot 2 = 28 $$
간단히 하기: $\sqrt[3]{2\dfrac{10}{27}}$
대분수를 가분수로 바꿉니다:
$$ \sqrt[3]{2\dfrac{10}{27}} = \sqrt[3]{\dfrac{64}{27}} = \dfrac{4}{3} $$
간단히 하기: $(\sqrt{17x})(\sqrt{34x})$
$$ (\sqrt{17x})(\sqrt{34x}) = \sqrt{578x^2} = x\sqrt{578} $$
$$ = x\sqrt{289 \cdot 2} = 17x\sqrt{2} $$
(단, 원래 식에서 요구하는 대로 $x \ge 0$ 가정).
간단히 하기: $\sqrt{4y^2}$
$$ \sqrt{4y^2} = 2|y| $$
간단히 하기: $\sqrt{8y^4}$
$$ \sqrt{8y^4} = \sqrt{4 \cdot 2 \cdot (y^2)^2} = 2y^2\sqrt{2} $$
간단히 하기: $\sqrt{25+144}$
$$ \sqrt{25+144} = \sqrt{169} = 13 $$
간단히 하기: $\sqrt[2n]{x^{2n}}$ (단, $n$은 양의 정수)
$2n$은 짝수 지수를 나타내므로:
$$ \sqrt[2n]{x^{2n}} = |x| $$
간단히 하기: $(\sqrt{x-2})(4\sqrt{x-2})$
$$ (\sqrt{x-2})(4\sqrt{x-2}) = 4(x-2) $$
간단히 하기: $\dfrac{\sqrt[3]{27a^3b^5}}{\sqrt[3]{8a^6b^2}}$
근호의 몫 법칙을 사용하여 결합합니다:
$$ \dfrac{\sqrt[3]{27a^3b^5}}{\sqrt[3]{8a^6b^2}} = \sqrt[3]{\dfrac{27a^3b^5}{8a^6b^2}} $$
근호 안의 분수를 간단히 합니다:
$$ = \sqrt[3]{\dfrac{27b^3}{8a^3}} $$
완전제곱수를 추출합니다:
$$ = \dfrac{3b}{2a} $$
간단히 하기: $\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-2}}$
분자와 분모에 분모의 켤레식인 $\sqrt{x}-\sqrt{x-2}$를 곱합니다:
$$ \dfrac{\sqrt{x}-\sqrt{x-2}}{\sqrt{x}+\sqrt{x-2}} = \dfrac{(\sqrt{x}-\sqrt{x-2})^2}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{x-2})^2} $$
분자를 전개하고 분모를 간단히 합니다:
$$ = \dfrac{x + (x-2) - 2\sqrt{x(x-2)}}{x - (x-2)} $$
$$ = \dfrac{2x - 2 - 2\sqrt{x(x-2)}}{2} $$
분자의 모든 항을 2로 나눕니다:
$$ = x - 1 - \sqrt{x(x-2)} $$