16의 네제곱근은 무엇인가요?

2^4 = 16이고 (-2)^4 = 16이므로, 16의 네제곱근은 2와 -2입니다.

다섯제곱근이 -3인 수는 무엇인가요?

그 수를 찾으려면 거듭제곱근을 5제곱합니다: (-3)^5 = -243.

-1의 스무제곱근은 무엇인가요?

실수 근은 존재하지 않습니다. x가 -1의 스무제곱근이라면 x^20 = -1입니다. 임의의 실수를 짝수 제곱하면 결과가 양수가 되므로, -1의 스무제곱근은 실수가 아닙니다.

81의 주 네제곱근은 무엇인가요?

81에는 3과 -3이라는 두 개의 네제곱근이 있습니다. 그러나 짝수 지수의 경우 주 제곱근은 양의 근으로 정의됩니다. 따라서 주 네제곱근은 3입니다.

실수의 제곱근과 근호

정의

$x \text{가 숫자 } y\text{의 } n\text{제곱근인 것은 } x^n = y\text{와 동치입니다.}$

$n = 2$일 때, $n$제곱근을 제곱근이라고 부릅니다.
$n = 3$일 때, $n$제곱근을 세제곱근(또는 삼제곱근)이라고 부릅니다.

예제

$3^2 = 9$이므로, $3$은 $9$의 제곱($n = 2$) 근입니다.
$(-3)^2 = 9$이므로, $-3$ 역시 $9$의 제곱근입니다.
$(-2)^3 = -8$이므로, $-2$는 $-8$의 세제곱($n = 3$) 근입니다.
$3^4 = 81$이고 $(-3)^4 = 81$이므로, $81$의 네제곱근은 $3$과 $-3$입니다.

실수 제곱근의 속성

1) $n$이 짝수이고 $y$가 양수일 때, $y$의 $n$제곱근은 두 개 존재합니다.

예제: $10^4 = 10000$이고 $(-10)^4 = 10000$이므로, $10000$의 네제곱근은 $10$과 $-10$입니다.

2) $n$이 짝수이고 $y < 0$일 때, $y$의 실수인 $n$제곱근은 존재하지 않습니다.

예제:

$-4$의 제곱근은 실수인 $x$가 존재하여 $x^2 = -4$를 만족하는 경우가 없으므로 실수가 아닙니다.
$-16$의 네제곱근은 실수인 $x$가 존재하여 $x^4 = -16$을 만족하는 경우가 없으므로 실수가 아닙니다.

3) $n$이 홀수일 때, $y$의 $n$제곱근은 항상 한 개 존재합니다.

예제:

$8$의 세($n=3$)제곱근은 $2$와 같습니다.
$-100000$의 다섯($n=5$)제곱근은 $-10$과 같습니다.

주 제곱근

$n$이 짝수일 때, 주 제곱근은 양의 근으로 정의됩니다. $n$이 홀수일 때는 근이 오직 하나만 존재하며, 그것이 주 제곱근입니다.

예제

$64$의 주 6제곱근은 $2^6 = 64$이므로 $2$와 같습니다.
$-64$의 주 세제곱근은 $(-4)^3 = -64$이므로 $-4$와 같습니다.

근호 표기법

기호 $\sqrt{\hphantom{9}}$은 근호라고 불리며 다음과 같이 수의 주 제곱근을 나타내는 데 사용됩니다:

$$ \sqrt[n]{y} $$

여기서 $n$은 근호의 지수(차수)라고 불리고 $y$는 피제곱수(근호 안의 수)라고 불립니다.

예제

$$ \sqrt[6]{64} = 2 $$

$$ \sqrt[3]{-27} = -3 $$

참고: 널리 사용되기 때문에, $y$의 제곱($n=2$)근은 지수를 따로 표기하지 않고 $\sqrt{y}$로 씁니다.

정답이 포함된 연습 문제

문제 1

$16$의 네제곱근은 무엇입니까?

풀이 보기

$2^4 = 16$이고 $(-2)^4 = 16$이므로 $2$와 $-2$입니다.

문제 2

$-1$의 일곱제곱근은 무엇입니까?

풀이 보기

$(-1)^7 = -1$이므로 $-1$입니다.

문제 3

다섯제곱근이 $-3$인 수는 무엇입니까?

풀이 보기

그 수는 $(-3)^5 = -243$입니다.

문제 4

$y$의 여섯제곱근이 $-5$와 같다면, $y = \underline{\hspace{2cm}}$입니다.

풀이 보기

$y = (-5)^6 = 15625$입니다.

문제 5

$-1$의 스무제곱근은 무엇입니까?

풀이 보기

$x$가 $-1$의 스무제곱근이라면 $x^{20} = -1$입니다. 짝수 제곱을 하여 음수가 나오는 실수는 존재하지 않습니다. 따라서 $-1$의 스무제곱근은 실수가 아닙니다.

문제 6

$81$의 주 네제곱근은 무엇입니까?

풀이 보기

$81 = 3^4$이고 $81 = (-3)^4$입니다. 따라서 81은 두 개의 네제곱근을 가지지만, 주 제곱근은 양수인 $3$입니다.

문제 7

값 구하기: $\sqrt{-4} = \underline{\hspace{2cm}}$

풀이 보기

실수가 아닙니다.

문제 8

값 구하기: $\sqrt[10]{\dfrac{10}{-10}} = \underline{\hspace{2cm}}$

풀이 보기

$$ \sqrt[10]{\dfrac{10}{-10}} = \sqrt[10]{-1} $$

실수가 아닙니다.

문제 9

값 구하기: $\sqrt[3]{-1} = \underline{\hspace{2cm}}$

풀이 보기

$$ \sqrt[3]{-1} = -1 $$

문제 10

값 구하기: $\sqrt[3]{1000} = \underline{\hspace{2cm}}$

풀이 보기

$$ \sqrt[3]{1000} = \sqrt[3]{10^3} = 10 $$

문제 11

값 구하기: $\sqrt[5]{\dfrac{64}{2}} = \underline{\hspace{2cm}}$

풀이 보기

$$ \sqrt[5]{\dfrac{64}{2}} = \sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2 $$

문제 12

값 구하기: $\sqrt{(-23)^2} = \underline{\hspace{2cm}}$

풀이 보기

$$ \sqrt{(-23)^2} = \sqrt{529} = 23 $$

문제 13

값 구하기: $\sqrt{4^6} = \underline{\hspace{2cm}}$

풀이 보기

$$ \sqrt{4^6} = \sqrt{(4^3)^2} = 4^3 = 64 $$

문제 14

값 구하기: $\sqrt[7]{5^7} = \underline{\hspace{2cm}}$

풀이 보기

$$ \sqrt[7]{5^7} = 5 $$

문제 15

값 구하기: $\sqrt[4]{10^2 - 6^2} = \underline{\hspace{2cm}}$

풀이 보기

$$ \sqrt[4]{10^2 - 6^2} = \sqrt[4]{100 - 36} = \sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} $$

분수 지수를 사용하여 간단히 할 수 있습니다:

$$ = 2^{6/4} = 2^{3/2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.828 $$

문제 16

값 구하기: $\sqrt[3]{2^9} = \underline{\hspace{2cm}}$

풀이 보기

$$ \sqrt[3]{2^9} = \sqrt[3]{(2^3)^3} = 2^3 = 8 $$

문제 17

값 구하기: $\sqrt{6 \dfrac{1}{4}} = \underline{\hspace{2cm}}$

풀이 보기

대분수를 가분수로 변환합니다:

$$ \sqrt{6 \dfrac{1}{4}} = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac{5}{2} = 2.5 $$

문제 18

계산기를 사용하여 다음 값을 소수점 아래 세 자리까지 근사하세요:

$\sqrt[3]{4}$
$\sqrt{1.3}$
$\sqrt{\dfrac{2}{5}}$
$\sqrt[3]{2 \dfrac{1}{3}}$

풀이 보기

$\sqrt[3]{4} \approx 1.587$
$\sqrt{1.3} \approx 1.140$
$\sqrt{\dfrac{2}{5}} = \sqrt{0.4} \approx 0.632$
$\sqrt[3]{2 \dfrac{1}{3}} = \sqrt[3]{\dfrac{7}{3}} \approx 1.326$

실수의 제곱근과 근호 - 문제와 풀이

정의

예제

실수 제곱근의 속성

주 제곱근

예제

근호 표기법

예제

정답이 포함된 연습 문제

문제 1

문제 2

문제 3

문제 4

문제 5

문제 6

문제 7

문제 8

문제 9

문제 10

문제 11

문제 12

문제 13

문제 14

문제 15

문제 16

문제 17

문제 18

참고 자료 및 링크